Summennorm

Grundidee und Definition

Die Summennorm, Betragssummennorm oder 1-Norm ist eine Norm für Vektoren. Sie misst die Größe eines Vektors, indem sie die Beträge aller Komponenten addiert. Sie ist die spezielle p-Norm für p=1.

Für einen Vektor x=(x₁,x₂,…,xₙ) mit reellen oder komplexen Einträgen gilt:

‖x‖₁ := ∑ᵢ₌₁ⁿ |xᵢ|.

Die Summennorm ist besonders wichtig, weil sie unter allen p-Normen für einen gegebenen Vektor den größten Wert liefert. Die von ihr abgeleitete Abstandsfunktion ist die Manhattan-Metrik.

Beispiele und Normaxiome

Für den reellen Vektor x=(3,−2,6)∈ℝ³ ergibt sich

‖x‖₁=|3|+|−2|+|6|=11.

Für den komplexen Vektor x=(3−4i,−2i)∈ℂ² gilt wegen |3−4i|=5 und |−2i|=2:

‖x‖₁=|3−4i|+|−2i|=5+2=7.

Wie jede Norm erfüllt die Summennorm drei Normaxiome:

• Definitheit: ‖x‖₁=0 gilt genau für den Nullvektor x=0, weil eine Summe nichtnegativer Beträge nur dann null ist, wenn jede Komponente null ist.

• Absolute Homogenität: Für einen reellen oder komplexen Skalar α gilt ‖αx‖₁=|α|·‖x‖₁.

• Subadditivität oder Dreiecksungleichung: Für zwei Vektoren x und y gilt ‖x+y‖₁≤‖x‖₁+‖y‖₁. Dies folgt aus |xᵢ+yᵢ|≤|xᵢ|+|yᵢ| für jede Komponente.

Geometrie und Vergleich der Normen

Die Einheitssphäre der reellen Summennorm ist die Menge {x∈ℝⁿ:‖x‖₁=1}. Sie hat in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Oktaeders und allgemein die Form eines Kreuzpolytops. Die zugehörige Einheitskugel hat unter allen p-Normen das kleinste Volumen. Dieses beträgt 2ⁿ/n!.

Für einen Vektor x und 1<p≤∞ gilt

‖x‖₁≥‖x‖ₚ.

Gleichheit besteht genau dann, wenn x der Nullvektor oder ein Vielfaches eines Einheitsvektors ist. Ein Einheitsvektor besitzt dabei nur eine von null verschiedene Komponente.

Da in endlichdimensionalen Vektorräumen alle Normen äquivalent sind, lässt sich die Summennorm auch nach oben abschätzen:

‖x‖₁≤n^(1−1/p)·‖x‖ₚ.

Bei einem konstanten Vektor, dessen Komponenten alle gleich sind, gilt Gleichheit. Für die Maximumsnorm mit p=∞ ist die Äquivalenzkonstante n; sie ist damit maximal unter den p-Normen. Anders als die euklidische Norm, also die 2-Norm, wird die Summennorm nicht von einem Skalarprodukt induziert.

Abstände und weitere Anwendungen

Die von der Summennorm erzeugte Metrik, also Abstandsfunktion, heißt Manhattan-Metrik oder Taxi-Metrik:

d(x,y)=∑ᵢ₌₁ⁿ |xᵢ−yᵢ|.

Im reellen zweidimensionalen Raum entspricht sie der Fahrtstrecke auf einem gitterförmigen Stadtplan, auf dem Bewegungen nur in waagerechten und senkrechten Abschnitten möglich sind. Der Abstand hängt dabei nicht davon ab, welchen der möglichen Rasterwege man wählt. Die von der Summennorm induzierte Matrixnorm ist die Spaltensummennorm.

Eine weitere Anwendung ist der Betrag eines Multiindex α=(α₁,…,αₙ) mit nichtnegativen Einträgen. Dabei setzt man |α|=‖α‖₁=α₁+⋯+αₙ. Für eine Funktion mehrerer Veränderlicher kann eine partielle Ableitung geschrieben werden als

f^(α)=∂^|α|f/(∂x₁^α₁⋯∂xₙ^αₙ).

Der Wert |α| gibt die gesamte Ordnung dieser Ableitung an.

Verallgemeinerungen auf Folgen und Funktionen

In unendlichdimensionalen Vektorräumen besitzt die Summennorm zwei wichtige Verallgemeinerungen.

Die ℓ¹-Norm gilt auf dem Folgenraum ℓ¹ der betragsweise summierbaren reellen oder komplexen Folgen (aₙ)ₙ. Die endliche Summe der Vektorkomponenten wird durch eine unendliche Reihe ersetzt:

‖(aₙ)‖ℓ¹=∑ₙ₌₁∞ |aₙ|.

Für Funktionen wird die Summe durch ein Integral ersetzt. Ist f:Ω→𝕂 betragsweise Lebesgue-integrierbar, so lautet die 𝓛¹-Norm zunächst

‖f‖𝓛¹(Ω)=∫Ω |f(x)| dx.

Auf einzelnen Funktionen ist dies nur eine Halbnorm: Neben der Nullfunktion erhalten auch Funktionen den Wert null, die sich von ihr lediglich auf einer Menge mit Lebesgue-Maß null unterscheiden. Um eine echte Norm zu erhalten, fasst man Funktionen, die fast überall gleich sind, zu Äquivalenzklassen [f] zusammen. Auf dem Raum L¹(Ω) wird dann definiert:

‖[f]‖L¹(Ω)=‖f‖𝓛¹(Ω).