P-Norm

Grundidee und Definition

p-Normen sind eine Klasse von Vektornormen für reelle Zahlen p mit p ≥ 1. Sie messen die Größe oder Länge eines reellen oder komplexen Vektors x = (x_1, …, x_n) ∈ K^n mit K = R oder K = C. Für 1 ≤ p < ∞ ist die p-Norm definiert durch

||x||p := (∑{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}.

Dabei ist |x_i| der Betrag der Komponente x_i. Es spielt keine Rolle, ob x als Zeilen- oder Spaltenvektor geschrieben wird. Im Fall n = 1 stimmen alle p-Normen mit der Betragsnorm einer reellen oder komplexen Zahl überein.

Die Menge aller Vektoren mit p-Norm eins heißt Einheitssphäre der Norm. Nur bei p = 2 ist diese Einheitssphäre die aus der Geometrie bekannte Sphäre. In zwei Dimensionen haben die Einheitssphären allgemein die Form von Superellipsen für 2 < p < ∞ oder Subellipsen für 1 < p < 2; in höheren Dimensionen entstehen entsprechend Superellipsoide oder Subellipsoide.

Wichtige Spezialfälle

Die wichtigsten Spezialfälle sind die Summennorm, die euklidische Norm und die Maximumsnorm.

Die 1-Norm heißt Betragssummennorm oder kurz Summennorm. Sie ist definiert durch

||x||1 = ∑{i=1}^n |x_i|.

Sie ist also die Summe der Beträge aller Komponenten. Ihre Einheitssphäre hat im Reellen in zwei Dimensionen die Form eines Quadrats, in drei Dimensionen die Form eines Oktaeders und allgemein die Form eines Kreuzpolytops.

Die 2-Norm heißt euklidische Norm. Sie ist definiert durch

||x||2 = √(∑{i=1}^n |x_i|^2).

Sie ist die Wurzel aus der Summe der Betragsquadrate der Komponenten. In zwei und drei Dimensionen beschreibt sie die anschauliche Länge eines Vektors in der Ebene oder im Raum. Ihre Einheitssphäre ist in zwei Dimensionen ein Kreis, in drei Dimensionen eine Kugeloberfläche und allgemein eine Sphäre.

Für den Grenzwert p → ∞ erhält man die ∞-Norm, auch Unendlich-Norm, Maximumsnorm oder Tschebyschow-Norm genannt. Sie ist definiert durch

||x||∞ = max{i=1,…,n} |x_i|.

Sie entspricht dem Betrag der betragsgrößten Komponente. Ihre Einheitssphäre ist im Reellen in zwei Dimensionen ein Quadrat, in drei Dimensionen ein Würfel und allgemein ein Hyperwürfel. Für x ≠ 0 gilt tatsächlich lim_{p→∞} ||x||p = ||x||∞. Außerdem ist die Maximumsnorm niemals größer als die übrigen p-Normen.

Normeigenschaften und Ungleichungen

Alle p-Normen einschließlich der Maximumsnorm erfüllen die drei Normaxiome: Definitheit, absolute Homogenität und Subadditivität.

Definitheit bedeutet: ||x||_p = 0 gilt genau dann, wenn x = (0, …, 0) = 0 ist. Das folgt daraus, dass die Beträge und ihre Potenzen nichtnegativ sind und nur bei der Nullkomponente den Wert 0 haben.

Absolute Homogenität bedeutet: Für einen Skalar α gilt

||αx||_p = |α| · ||x||_p.

Die Subadditivität ist die Dreiecksungleichung

||x + y||_p ≤ ||x||_p + ||y||_p.

Für p-Normen ist diese Ungleichung die Minkowski-Ungleichung. Sie beruht auf der Hölder-Ungleichung: Sind 1 ≤ p, q ≤ ∞ zueinander konjugierte Exponenten, also 1/p + 1/q = 1 mit der Konvention 1/∞ = 0, dann gilt

∑_{i=1}^n |x_i y_i| ≤ ||x||_p · ||y||_q.

Für p = q = 2 ist die Hölder-Ungleichung die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.

Monotonie, Äquivalenz und Absolutheit

Für einen festen Vektor x werden p-Normen bei wachsendem p monoton kleiner. Für 1 ≤ p < r ≤ ∞ gilt

||x||_r ≤ ||x||_p.

Damit ist für einen gegebenen Vektor die Summennorm die größte und die Maximumsnorm die kleinste p-Norm. Gleichheit über alle p-Normen tritt genau dann auf, wenn der Vektor höchstens eine Komponente ungleich Null besitzt, zum Beispiel beim Nullvektor oder bei einem Einheitsvektor. Entsprechend enthalten sich die Einheitskugeln: Für p < r gilt

{x : ||x||_p ≤ 1} ⊂ {x : ||x||_r ≤ 1}.

Alle p-Normen sind zueinander äquivalent. Für zwei Normen ||·||_p und ||·||_r mit 1 ≤ p ≤ r ≤ ∞ gibt es positive Konstanten c_1 und c_2, sodass für alle x ∈ V gilt

c_1||x||_r ≤ ||x||_p ≤ c_2||x||_r.

Wegen der Monotonie ist c_1 = 1. Für p,r < ∞ ergibt sich mit der Hölder-Ungleichung die Abschätzung

||x||_p ≤ n^{1/p - 1/r} ||x||_r,

wobei die Konvention 1/∞ = 0 auch die Fälle mit ∞ abdeckt. Die p-Normen eines festen Vektors unterscheiden sich höchstens um den Faktor n.

Außerdem sind alle p-Normen inklusive der Maximumsnorm absolut: Für |x| = (|x_1|, …, |x_n|) gilt

||x||_p = || |x| ||_p.

Daraus folgt komponentenweise Monotonie: Wenn |x_i| ≤ |y_i| für alle i = 1, …, n gilt, dann ist ||x||_p ≤ ||y||_p. Für 1 ≤ p < ∞ gilt sogar strenge Monotonie, wenn mindestens eine Komponente betragsmäßig echt kleiner ist.

Der Fall 0 kleiner p kleiner 1

Für 0 < p < 1 ist die durch

||x||p = (∑{i=1}^n |x_i|^p)^{1/p}

definierte Abbildung keine Norm im eigentlichen Sinn. Der Grund ist, dass sie keine konvexe Nullumgebung erzeugt und die Dreiecksungleichung im Allgemeinen verletzt wird.

Ein Beispiel ist V = R^2 mit v = (1,0) und w = (0,1). Dann gilt

||v + w||_p = (1^p + 1^p)^{1/p} = 2^{1/p} > 2 = ||v||_p + ||w||_p.

Das widerspricht der Dreiecksungleichung ||v+w||_p ≤ ||v||_p + ||w||_p, die für p ≥ 1 gilt. Die positive Definitheit und die absolute Homogenität bleiben jedoch erhalten. Für 0 < p < 1 ist die Abbildung daher eine Quasinorm. Dabei wird die Dreiecksungleichung durch eine schwächere Ungleichung der Form ||x+y|| ≤ k · (||x|| + ||y||) mit einer reellen Konstanten k > 1 ersetzt; im Artikel wird k = 2^{1/p - 1} angegeben.

Beispiele und Verallgemeinerungen

Für den reellen Vektor x = (3, -2, 6) ergeben sich als Beispiele:

||x||_1 = |3| + |-2| + |6| = 11, ||x||_2 = √(|3|^2 + |-2|^2 + |6|^2) = √49 = 7, ||x||3 = ∛(|3|^3 + |-2|^3 + |6|^3) = ∛251 ≈ 6,308, ||x||∞ = max{|3|, |-2|, |6|} = 6.

Für den komplexen Vektor x = (3-4i, -2i) gilt:

||x||_1 = |3-4i| + |-2i| = 5 + 2 = 7, ||x||_2 = √(|3-4i|^2 + |-2i|^2) = √(5^2 + 2^2) = √29 ≈ 5,385, ||x||3 = ∛(|3-4i|^3 + |-2i|^3) = ∛(5^3 + 2^3) = ∛133 ≈ 5,104, ||x||∞ = max{|3-4i|, |-2i|} = max{5,2} = 5.

p-Normen lassen sich auf weitere mathematische Objekte übertragen. ℓ^p-Normen verallgemeinern p-Normen auf Folgenräume, indem die endliche Summe durch eine unendliche ersetzt wird:

||(a_n)||{ℓ^p} = (∑{n=1}^∞ |a_n|^p)^{1/p}.

Für p → ∞ entsteht der Raum der beschränkten Folgen mit der Supremumsnorm.

L^p-Normen verallgemeinern p-Normen auf Funktionenräume. Für eine in p-ter Potenz Lebesgue-integrierbare Funktion f: Ω → K gilt zunächst

||f||_{L^p(Ω)} = (∫_Ω |f(x)|^p dx)^{1/p}.

Genauer betrachtet man Äquivalenzklassen [f] von Funktionen, die fast überall gleich sind, weil Funktionen, die sich nur auf einer Menge mit Lebesgue-Maß null unterscheiden, dieselbe Norm liefern. Für p → ∞ erhält man wesentlich beschränkte Funktionen mit der wesentlichen Supremumsnorm.

Auch Matrixnormen können aus p-Normen entstehen. Eine Matrix A ∈ K^{m×n} kann als Vektor aus K^{m·n} betrachtet werden. Außerdem definiert man induzierte Matrixnormen durch

||A||p = max{x≠0} ||Ax||_p / ||x||p = max{||x||_p=1} ||Ax||_p.

Beispiele sind die Spaltensummennorm, die Spektralnorm und die Zeilensummennorm. Eine weitere Möglichkeit sind Schatten-p-Normen, bei denen die p-Norm des Vektors der Singulärwerte einer Matrix betrachtet wird.