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Manhattan-Metrik
Ihren Namen hat diese Distanzdefinition von der Schachbrettmuster-artigen Anlage der Gebäudeblöcke und dem orthogonalen Straßengitter Manhattans, die einen …
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Definition und Grundidee
Die Manhattan-Metrik, auch Manhattan-Distanz, Mannheimer Metrik, Taxi- oder Cityblock-Metrik genannt, ist eine Metrik zur Bestimmung des Abstands zwischen zwei Punkten. Der Abstand ist die Summe der absoluten Differenzen ihrer einzelnen Koordinaten:
d(A,B)=∑ᵢ |Aᵢ−Bᵢ|
Sie entspricht der von der Summennorm (1-Norm) eines Vektorraums erzeugten Metrik. Der Name veranschaulicht die zugrunde liegende Geometrie: In einem orthogonalen Straßengitter, wie es für die Gebäudeblöcke Manhattans typisch ist, kann man sich nur entlang horizontaler und vertikaler Wege bewegen. Die Entfernung zwischen zwei Punkten ergibt sich deshalb aus der Aneinanderreihung solcher Wegstücke und nicht aus einer direkten Luftlinie.
Eigenschaften und Beispiel
Ein Taxifahrer legt zwischen Start und Ziel immer dieselbe Streckenlänge zurück, wenn er ausschließlich Wege benutzt, die ihn dem Ziel näher bringen. Dabei verlässt er niemals das am Raster ausgerichtete Rechteck, dessen gegenüberliegende Ecken Start- und Zielpunkt bilden. Die möglichen kürzesten Wege können dabei unterschiedlich verlaufen, haben aber dieselbe Gesamtlänge.
Für die zweidimensionalen Punkte A=(A₁,A₂) und B=(B₁,B₂) gilt im dargestellten Beispiel:
d(A,B)=|A₁−B₁|+|A₂−B₂|=|6|+|6|=12.
Die Manhattan-Distanz beträgt also 12 Einheiten. Zum Vergleich hat der euklidische Abstand zwischen denselben Punkten die Länge 6√2≈8,5 Einheiten. Die Manhattan-Metrik misst somit die Weglänge entlang des Rasters, während der euklidische Abstand die direkte Verbindung zwischen den Punkten beschreibt.