Differenz-Operator

Grundidee und Bedeutung

Ein Differenz-Operator ist ein mathematischer Operator, der die Differenz einer Funktion in mehreren Variablen verallgemeinert. Dadurch können Eigenschaften von reellen Funktionen einer Variablen, etwa Monotonie, auf Funktionen mehrerer Variablen übertragen werden. Weitere wichtige Anwendungsgebiete sind die Stochastik und die Maßtheorie, in denen Differenz-Operatoren unter anderem zur Definition abstrakter Volumenbegriffe beziehungsweise von Maßen auf ℝⁿ eingesetzt werden.

Definition in mehreren Variablen

Für eine reellwertige Funktion mehrerer reeller Variablen F: ℝⁿ → ℝ und zwei Vektoren a¹ = (a₁¹, …, aₙ¹) sowie a² = (a₁², …, aₙ²) ist der Differenzenoperator definiert durch

Δₐ¹ᵃ²F := ∑_{i₁,…,iₙ∈{1,2}} (−1)^{i₁+…+iₙ} F(a₁^{i₁}, …, aₙ^{iₙ}).

Für jede Komponente werden also jeweils die beiden möglichen Koordinatenwerte eingesetzt. Die Differenzenbildung in der ν-ten Komponente lautet:

{}νΔ_α^βF := F(x₁,…,x_{ν−1},β,x_{ν+1},…,xₙ) − F(x₁,…,x_{ν−1},α,x_{ν+1},…,xₙ).

Dabei werden alle anderen Komponenten unverändert gelassen. Obwohl das Ergebnis in der ν-ten Komponente konstant ist, wird es meist weiterhin als Funktion auf ℝⁿ betrachtet. So können anschließend weitere Differenz-Operatoren angewendet werden.

Finite Differenzen und Veranschaulichung

In der Theorie der finiten Differenzen gibt es insbesondere die Vorwärtsdifferenz Δf := f(x+1) − f(x) und die Rückwärtsdifferenz ∇f := f(x) − f(x−1). Mit dem Shiftoperator sₐf := f(x+a) lassen sie sich schreiben als

Δf = (s₊₁ − id)f, ∇f = (id − s₋₁)f.

Allgemeiner definiert man für eine Schrittweite h die Vorwärts-Differenz Δₕf := f(x+h) − f(x), die Rückwärts-Differenz ∇ₕf := f(x) − f(x−h) und die zentrierte Differenz δₕf := f(x+h/2) − f(x−h/2).

Geometrisch erzeugen die beiden Vektoren a¹ und a² durch den Austausch ihrer einzelnen Komponenten einen Quader im ℝⁿ mit 2ⁿ Ecken. Die Funktionswerte an diesen Ecken werden abhängig davon, aus welchem Ursprungsvektor die jeweilige Komponente stammt, mit Vorzeichen versehen und addiert. Für n = 2 ergibt sich:

Δₐ¹ᵃ²F = F(a₁²,a₂²) − F(a₁¹,a₂²) − F(a₁²,a₂¹) + F(a₁¹,a₂¹).

Eigenschaften und Anwendungen

Der Differenzenoperator ist linear. Für Funktionen F und G gilt:

Δₐ¹ᵃ²(F+G) = Δₐ¹ᵃ²F + Δₐ¹ᵃ²G.

Außerdem lässt sich der mehrdimensionale Operator als wiederholte Differenzbildung in den einzelnen Komponenten schreiben:

Δₐ¹ᵃ²F = ∑{i₁=1}²(−1)^{i₁} · ∑{i₂=1}²(−1)^{i₂} · … · ∑{iₙ=1}²(−1)^{iₙ} F(a₁^{i₁},…,aₙ^{iₙ}) = {}₁Δ{a₁¹}^{a₁²} … {}ₙΔ_{aₙ¹}^{aₙ²}F.

Für μ ≠ ν gilt außerdem:

{}μΔ_α^β {}νΔ_α^β F = {}νΔ_α^β {}μΔ_α^β F.

Die Differenzbildungen in verschiedenen Komponenten sind somit vertauschbar.

Mit Differenz-Operatoren lässt sich die Monotonie auf mehrere Variablen erweitern. Eine Funktion F: ℝⁿ → ℝ heißt rechtecksmonoton, wenn aus a ≤ b komponentenweise ΔₐᵇF ≥ 0 folgt. Die Ordnung a ≤ b bedeutet dabei aᵢ ≤ bᵢ für alle Indizes i. Solche Funktionen können anschließend weiter untersucht werden. In der Maßtheorie und Stochastik dienen Differenz-Operatoren außerdem dazu, mithilfe multivariater Verteilungsfunktionen Maße auf ℝⁿ zu definieren.