Standardskalarprodukt

Grundidee und reelle Definition

Das Standardskalarprodukt, auch kanonisches oder manchmal euklidisches Skalarprodukt, ist das übliche Skalarprodukt auf den Standard-Vektorräumen ℝⁿ und ℂⁿ. Es verallgemeinert Winkel und Orthogonalität aus der Ebene und dem dreidimensionalen Raum auf höhere Dimensionen. Außerdem liefert es die euklidische Norm und damit Längen und Abstände.

Für x,y∈ℝⁿ mit x=(x₁,x₂,…,xₙ)ᵀ und y=(y₁,y₂,…,yₙ)ᵀ gilt ⟨x,y⟩:=x₁y₁+x₂y₂+…+xₙyₙ=∑ᵢ₌₁ⁿxᵢyᵢ=xᵀy. Man multipliziert also jeweils entsprechende Komponenten und addiert die Produkte. Möglich sind auch die Schreibweisen x·y oder x∘y. Das Ergebnis ist eine reelle Zahl.

Beispiel: Für x=(1,2,−3)ᵀ und y=(5,−4,1)ᵀ ist ⟨x,y⟩=1·5+2·(−4)+(−3)·1=5−8−3=−6.

Axiome im reellen und komplexen Fall

Im reellen Fall ist das Standardskalarprodukt bilinear: Es ist in beiden Argumenten linear, also etwa ⟨λx,y⟩=λ⟨x,y⟩ und ⟨x+y,z⟩=⟨x,z⟩+⟨y,z⟩. Es ist außerdem symmetrisch, ⟨x,y⟩=⟨y,x⟩, und positiv definit: ⟨x,x⟩=x₁²+…+xₙ²≥0 sowie ⟨x,x⟩=0 genau dann, wenn x=0.

Für komplexe Vektoren x,y∈ℂⁿ gibt es zwei Konventionen: ⟨x,y⟩:=∑ᵢ₌₁ⁿ x̄ᵢyᵢ=xᴴy oder ⟨x,y⟩:=∑ᵢ₌₁ⁿxᵢȳᵢ=yᴴx. Der Überstrich bedeutet komplexe Konjugation, xᴴ den adjungierten Vektor. Die beiden Ergebnisse sind komplex konjugiert.

In der ersten Variante ist das Produkt sesquilinear: Im ersten Argument ist es semilinear, also ⟨λx,y⟩=λ̄⟨x,y⟩, und im zweiten linear, ⟨x,λy⟩=λ⟨x,y⟩. Es ist hermitesch: ⟨x,y⟩=overline{⟨y,x⟩}. Ferner gilt ⟨x,x⟩=|x₁|²+…+|xₙ|²≥0 und ⟨x,x⟩=0 genau dann, wenn x=0. In der zweiten Variante sind die Rollen der beiden Argumente vertauscht.

Beispiel: Für x=(i,2−i)ᵀ und y=(i−1,2)ᵀ ergibt die erste Variante 5+3i, die zweite 5−3i.

Wichtige Eigenschaften bei Matrizen

Für alle x,y∈𝕂ⁿ mit 𝕂=ℝ oder 𝕂=ℂ gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung: |⟨x,y⟩|²≤⟨x,x⟩·⟨y,y⟩. Im reellen Fall können die Betragsstriche links weggelassen werden. Aus dieser zentralen Ungleichung folgt beispielsweise, dass das Standardskalarprodukt als Funktion ⟨·,·⟩:𝕂ⁿ×𝕂ⁿ→𝕂 stetig ist.

Für eine reelle Matrix A∈ℝᵐ×ⁿ, x∈ℝⁿ und y∈ℝᵐ gilt die Verschiebungseigenschaft ⟨Ax,y⟩=⟨x,Aᵀy⟩. Im komplexen Fall lautet sie für A∈ℂᵐ×ⁿ: ⟨Ax,y⟩=⟨x,Aᴴy⟩. Dabei ist Aᵀ die transponierte und Aᴴ die adjungierte Matrix.

Das Skalarprodukt bleibt unter orthogonalen reellen beziehungsweise unitären komplexen Transformationen erhalten: Für eine solche Matrix A gilt ⟨Ax,Ay⟩=⟨x,y⟩. Orthogonale Transformationen sind typischerweise Drehungen um den Nullpunkt oder Spiegelungen an einer Ebene durch den Nullpunkt.

Winkel, Projektion, Länge und Abstand

Für zwei reelle Vektoren x,y∈ℝⁿ{0} wird der Winkel φ durch cos(φ)=⟨x,y⟩/(√⟨x,x⟩ √⟨y,y⟩) definiert. Wegen der Cauchy-Schwarz-Ungleichung liegt φ in [0,π], also zwischen 0° und 180°. Bei Einheitsvektoren ist der Kosinus des Winkels gleich ihrem Standardskalarprodukt. Für komplexe Vektoren gibt es verschiedene Winkeldefinitionen.

Zwei reelle oder komplexe Vektoren heißen orthogonal oder rechtwinklig, wenn ⟨x,y⟩=0. Für reelle Vektoren ungleich dem Nullvektor bedeutet dies φ=π/2=90°. Ist {u₁,…,uₖ} eine Orthonormalbasis eines k-dimensionalen Untervektorraums U, dann ist y=⟨x,u₁⟩u₁+…+⟨x,uₖ⟩uₖ die Orthogonalprojektion von x auf U. Der Rest x−y steht senkrecht auf jedem u∈U.

Die induzierte oder euklidische Norm ist ‖x‖=√⟨x,x⟩=√(|x₁|²+|x₂|²+…+|xₙ|²). Sie bestimmt die Länge eines Vektors. Daraus folgt der euklidische Abstand d(x,y)=‖x−y‖=√(|x₁−y₁|²+…+|xₙ−yₙ|²). Er definiert eine Metrik und damit die Standardtopologie auf ℝⁿ beziehungsweise ℂⁿ.

Verallgemeinerungen

In einem reellen oder komplexen Vektorraum V der endlichen Dimension n mit Orthonormalbasis {e₁,…,eₙ} hat jeder Vektor v die Darstellung v=∑ᵢ₌₁ⁿvᵢeᵢ mit vᵢ=⟨v,eᵢ⟩. Die Koordinaten sind die Längen der Orthogonalprojektionen auf die Basisvektoren. Für v,w∈V gilt ⟨v,w⟩=∑ᵢ₌₁ⁿv̄ᵢwᵢ. So wird das Skalarprodukt auf das Standardskalarprodukt der Koordinatenvektoren zurückgeführt. Betrachtet man Matrizen als lange Spaltenvektoren, entspricht dieses Skalarprodukt dem Frobenius-Skalarprodukt der Matrizen.

Auch für Folgen ist eine Verallgemeinerung möglich, jedoch nur für Folgen, bei denen das Skalarprodukt endlich bleibt. Der Raum ℓ² besteht aus reell- oder komplexwertigen Folgen (aᵢ) mit ∑ᵢ₌₁^∞|aᵢ|²<∞; solche Folgen heißen quadratisch summierbar. Für zwei Folgen in ℓ² ist ⟨(aᵢ),(bᵢ)⟩₍ℓ²₎=∑ᵢ₌₁^∞āᵢbᵢ. Allgemeiner verwendet man für eine Indexmenge I den Raum ℓ²(I) mit ⟨(aᵢ),(bᵢ)⟩₍ℓ²(I)₎=∑ᵢ∈I āᵢbᵢ. Im reellen Fall entfallen die Konjugationen.