Standardnormalverteilungstabelle

Zweck und Definition

Die Standardnormalverteilungstabelle dient dazu, Wahrscheinlichkeiten einer Normalverteilung zu bestimmen. Sie wird benötigt, weil sich das Integral der allgemeinen Normalverteilung

F(x) = 1/(σ√(2π)) · ∫ von −∞ bis x e^(−1/2·((t−μ)/σ)²) dt

nicht auf eine elementare Stammfunktion zurückführen lässt. Dabei bezeichnet μ den Erwartungswert und σ die Standardabweichung.

Die Tabelle gilt unmittelbar für die Standardnormalverteilung mit μ = 0 und σ = 1, die auch 0-1-Normalverteilung oder normierte Normalverteilung heißt. Ihre Verteilungsfunktion lautet für z ∈ ℝ:

Φ₀;₁(z) = 1/√(2π) · ∫ von −∞ bis z e^(−t²/2) dt.

Φ(z) ist die Fläche unter der gaußschen Glockenkurve von −∞ bis z und damit die Wahrscheinlichkeit P(Z ≤ z). Obwohl die Tabelle nur die standardisierte Verteilung enthält, kann sie auch für jede Normalverteilung mit beliebigem μ und σ verwendet werden: Ein Wert x wird durch z = (x−μ)/σ standardisiert; entsprechend wird die Zufallsvariable X durch Z = (X−μ)/σ transformiert. Diese Transformation ist flächengleich, sodass die aus der Tabelle abgelesene Wahrscheinlichkeit nicht zurücktransformiert werden muss.

Tabellenwerte richtig ablesen

Die Tabelle enthält Φ(z) für nichtnegative z-Werte von 0 bis 4,09. Der Wert von z bis einschließlich der Zehntelstelle steht am linken Tabellenrand; die Hundertstelstelle wird in der Kopfzeile gewählt. Am Schnittpunkt der passenden Zeile und Spalte steht Φ(z). Beispielsweise findet man z = 1,32 in der Zeile 1,3 und der Spalte 0,02; dort steht Φ(1,32) = 0,90658.

Negative z-Werte fehlen wegen der Symmetrie der Normalverteilung. Für sie gilt exakt:

Φ(−z) = 1 − Φ(z).

Insbesondere ist Φ(0) = 0,50000. Mit zunehmendem positivem z nähert sich Φ(z) der Gesamtwahrscheinlichkeit 1. Für z > 4,09 wird Φ(z) ≈ 1 gesetzt.

Ist umgekehrt eine Wahrscheinlichkeit gegeben und z gesucht, wählt man zunächst den Tabellenwert mit dem geringsten Abstand. Für Φ(z) = 0,90670 liegt 0,90658 näher als 0,90824; daraus folgt zunächst z ≈ 1,32 statt 1,33. Ein genauerer Näherungswert lässt sich durch lineare Interpolation bestimmen:

(0,90670 − 0,90658)/(0,90824 − 0,90658) = 12/166,

was im Artikel mit rund 0,1 angegeben wird. Man nimmt daher 0,1 der Differenz zwischen 1,32 und 1,33, also 0,001, und erhält z ≈ 1,321.

Wurde z aus einer Tabellenwahrscheinlichkeit ermittelt und stammt die Aufgabe aus einer allgemeinen Normalverteilung, muss die ursprüngliche Grenze zurückgerechnet werden:

x = zσ + μ.

Berechnung eines Intervalls

Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert μ = 5 und Standardabweichung σ = 2. Gesucht wird die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen x₁ = 3 und x₂ = 7 liegt. Diese Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Dichtefunktion

f(x) = 1/(σ√(2π)) · e^(−1/2·((x−μ)/σ)²)

zwischen den beiden Grenzen.

Die Grenzen werden mit z = (x−μ)/σ standardisiert:

z₁ = (3−5)/2 = −1, z₂ = (7−5)/2 = 1.

Damit gilt:

P(3 ≤ X ≤ 7) = P(−1 ≤ Z ≤ 1) = P(Z ≤ 1) − P(Z ≤ −1) = Φ(1) − Φ(−1).

Aus der Symmetrie folgt Φ(−1) = 1 − Φ(1). Der Tabelle wird Φ(1) = 0,84134 entnommen. Somit ergibt sich:

Φ(1) − Φ(−1) = Φ(1) − (1 − Φ(1)) = 2Φ(1) − 1 = 2 · 0,84134 − 1 = 0,68268.

Die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 3 und 7 liegt, beträgt also 0,68268 und damit fast 70 Prozent.

Quantile bestimmen

Ein q-Quantil z_q ist derjenige Wert, für den

Φ(z_q) = q

gilt. Quantile werden beispielsweise bei Hypothesentests benötigt, um kritische Werte zu finden. Zur Bestimmung sucht man die Wahrscheinlichkeit q in der Tabelle und liest den zugehörigen z-Wert ab; falls nötig, wird interpoliert.

Für das 97,5-%-Quantil gilt Φ(z₀,₉₇₅) = 0,975. Daraus folgt:

z₀,₉₇₅ ≈ 1,959960 ≈ 1,96,

wobei zuerst auf sechs und anschließend auf zwei Nachkommastellen gerundet wurde.

Weitere angegebene Quantile sind:

• z₀,₇₅₀ = 0,674490 • z₀,₈₀₀ = 0,841621 • z₀,₉₀₀ = 1,281550 • z₀,₉₅₀ = 1,644850 • z₀,₉₇₅ = 1,959960 • z₀,₉₉₀ = 2,326350 • z₀,₉₉₅ = 2,575830