Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)

Grundidee und Bedeutung

Ein Quantil ist ein Lagemaß in der Statistik. Es beschreibt bei einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, einer Zufallsvariablen oder einer Stichprobe, welcher Wert eine Verteilung in zwei Teile trennt. Ein p-Quantil teilt die Verteilung so, dass links davon der Anteil p liegt und rechts davon der Anteil 1-p. Dabei ist p eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 und heißt auch Unterschreitungsanteil.

Anschaulich bedeutet das: Beim 25-%-Quantil liegen 25 % aller Werte kleiner oder gleich diesem Wert. Eine Aussage wie „25 % aller Frauen sind kleiner als 1,62 m“ beschreibt also 1,62 m als 25-%-Quantil. Allgemein kann sich der Anteil p auf beobachtete Werte, auf Zufallswerte oder auf die Fläche unter einer Dichtekurve beziehen.

Formale Definitionen

Für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P auf den reellen Zahlen mit der Borelschen σ-Algebra heißt eine reelle Zahl x_p ein p-Quantil, wenn gilt:

P((−∞, x_p]) ≥ p und P([x_p, +∞)) ≥ 1 − p.

Für eine reelle Zufallsvariable X heißt x_p ein p-Quantil, wenn gilt:

P(X ≤ x_p) ≥ p und P(x_p ≤ X) ≥ 1 − p.

Die p-Quantile einer Zufallsvariablen X sind damit genau die p-Quantile ihrer Verteilung P_X. Quantile können auch über die Verteilungsfunktion F definiert werden. Dann ist x_p ein p-Quantil, wenn gilt:

F(x_p) ≥ p und lim_{t ↑ x_p} F(t) ≤ p.

Der Ausdruck lim_{t ↑ x_p} F(t) bezeichnet den linksseitigen Grenzwert. Für empirische Quantile aus einer Stichprobe x_1, …, x_n gilt: Ein Wert x_(p) ist ein empirisches p-Quantil, wenn für wenigstens pn der Werte x_i ≤ x_(p) gilt und für wenigstens (1-p)n der Werte x_i ≥ x_(p) gilt.

Bestimmung bei stetigen Verteilungen

Ist die Verteilungsfunktion F stetig, vereinfacht sich die Bestimmung eines p-Quantils. Dann ist x_p eine Lösung der Gleichung:

F(x_p) = p.

Das folgt daraus, dass bei Stetigkeit der linksseitige Grenzwert mit dem Funktionswert F(x_p) übereinstimmt. Besitzt die Verteilung zusätzlich eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f, also bei einer absolutstetigen Verteilung, ist das p-Quantil x_p Lösung der Gleichung:

∫_{−∞}^{x_p} f(x) dx = p.

Bei der Exponential-Verteilung mit Parameter λ > 0 lautet die Verteilungsfunktion F(x) = 1 − e^{−λx} für x ≥ 0 und F(x) = 0 für x < 0. Aus 1 − e^{−λx} = p folgt für p ∈ (0,1):

x_p = − ln(1-p) / λ.

Nicht-Eindeutigkeit und Quantilfunktion

Ein p-Quantil muss nicht eindeutig sein. Wenn eine Verteilungsfunktion auf einem Intervall konstant ist, kann die Gleichung F(x) = p unendlich viele Lösungen haben. In einem Beispiel ist jedes x aus dem Intervall [−1/2, 1/2] ein 1/2-Quantil, also ein Median. Bei Dichtefunktionen tritt Mehrdeutigkeit auf, wenn die Dichte auf einem Intervall konstant null ist.

Ist F_X invertierbar, zum Beispiel bei stetigen Verteilungen mit streng monotoner Verteilungsfunktion, fallen obere und untere Grenze zusammen; dann ist das p-Quantil eindeutig. Die Funktion F_X^{-1}: (0,1) → R heißt Quantilsfunktion oder verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion. Ihr Wert F_X^{-1}(p), auch Q_X(p), ist das p-Quantil von F_X oder X.

Hat F_X bei q eine Sprungstelle, also P(X = q) > 0, dann gilt für fast alle p mit F_X^{-1}(p) = q: F_X(F_X^{-1}(p)) > p. Ist F_X für ein p nicht invertierbar, weil sie ein Stück weit konstant ist, besitzt die Quantilfunktion an dieser Stelle eine Sprungstelle und gibt als Funktionswert das kleinstmögliche p-Quantil an. Beim 50-%-Quantil unterscheidet man deshalb auch Untermedian F_X^{-1}(0,5), Median und Obermedian; diese drei können deutlich auseinanderfallen.

Wichtige besondere Quantile

Für bestimmte Werte von p gibt es eigene Bezeichnungen. Der Median oder Zentralwert ist das Quantil Q_{0,5}. Bei einer Zufallsstichprobe sind ungefähr 50 % der Werte kleiner als der Median; bei einer Verteilung ist es der Wert, bei dem die kumulative Verteilungsfunktion den Wert 0.5 annimmt.

Terzile teilen eine der Größe nach geordnete Menge in drei gleich große Abschnitte: unteres, mittleres und oberes Drittel. Quartile sind Q_{0,25}, Q_{0,5} und Q_{0,75}; sie heißen auch Q1, Q2 und Q3 oder unteres, mittleres und oberes Quartil. Der Interquartilabstand ist Q_{0,75} − Q_{0,25}; er umfasst 50 % der Verteilung und dient als Streuungsmaß.

Quintile teilen die Werte in fünf gleich große Teile. Unterhalb von Q_{0,2} liegen 20 %, unterhalb von Q_{0,4} liegen 40 % der Werte. Dezile teilen die Werte in zehn gleich große Teile; unterhalb des dritten Dezils Q_{0,3} liegen 30 % der Werte. Der Abstand zwischen dem 10-%-Dezil und dem 90-%-Dezil heißt Interdezilbereich. Perzentile, auch Prozentränge, teilen die Verteilung in 100 gleich große Teile, also in 1-%-Segmente. Q_{0,97} entspricht dem Perzentil P97, unterhalb dessen 97 % aller Fälle liegen. Für a aus (0,1) wird das (1-a)-Quantil auch als a-Fraktil bezeichnet.