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z-Wert, z-Standardisierung (z-Transformation), Standardnormalverteilung, z-Wert Tabelle
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Transkriptautomatisch erstellt · 79 Zeilen
- Hi, in diesem Video besprechen wir, was der Z-Wert ist, wie die Z-Standardisierung bzw. die Z-Transformation funktioniert und was
- die Standard Normalverteilung ist. Außerdem zeige ich dir, was die Z-Werttabelle ist und wofür du sie brauchst. Zum besseren Verständnis gehen
- wir die einzelnen Punkte anhand eines einfachen Beispiels durch. Und damit starten wir gleich mit dem Beispiel. Angenommen, du bist Arzt oder Ärztin und
- möchtest den Blutdruck deiner Patienten untersuchen. Um den Blutdruck zu untersuchen, hast du bei einer Stichprobe von 40 Patienten den
- Blutdruck gemessen. Der Blutdruck wird in Millimeter HG gemessen. Da die Einheit ein wenig holbrig ist und eigentlich nicht zur Sache beiträgt,
- werden wir sie in Zukunft meistens weglassen. Von den gemessenen Daten kannst du nun natürlich den Mittelwert berechnen, also den Wert, den im Mittel
- die 40 Patienten haben. Einige Patienten werden einen niedrigeren Wert als der Mittelwert haben, andere einen höheren. Nun fragt dich einer der Patienten, wie
- hoch sein Blutdruck im Vergleich zu den anderen Patienten ist. Du sagst ihm, dass sein Blutdruck 10 mm HG über dem Durchschnitt liegt. Hm, jetzt ist
- natürlich die Frage, ob 10 viel oder wenig ist. Wenn die anderen Patienten sehr eng um den Mittelwert streuen, dann ist Z viel im Verhältnis zur Streuung.
- Aber wenn die anderen Patienten sehr stark um den Mittelwert streuen, dann ist ze nicht so viel. Wie stark die Daten streuen, sagt uns die
- Standardabweichung. Wenn die Daten nahe am Mittelwert liegen, haben wir eine kleine Standardabweichung. Wenn sie stark streuen, haben wir eine große
- Standardabweichung. Sagen wir, für unsere Daten erhalten wir eine Standardabweichung von 20. Das heißt, dass im quadratischen Mittel die
- Patienten um 20 vom Mittelwert abweichen. Der Z-Wert sagt uns nun, wie weit eine Person in Einheiten der Standardabweichung vom Mittelwert
- entfernt ist. Also eine Person, die um eine Standardabweichung abweicht, hat eine Z-Wert von 1. Eine Person, die zweimal so weit vom Mittelwert abweicht
- wie der Durchschnitt, hat einen Z-Wert von 2 und eine, die um drei Standardabweichung abweicht hat einen Z-Wert von 3. Entsprechend hat eine
- Person, die um eine Standardabweichung abweicht, einen Zwert von -1, eine Person, die um -2 Standardabweichung abweicht, einen Z-Wert von -2 und eine
- Person, die um -3 Standardabweichungen abweicht, einen Z-Wert von -3. Und wenn der Blutdruck von einer Person genau der Mittelwert ist, dann weicht sie
- natürlich um null Standardabweichungen von den Mittelwert ab und erhält den Wert 0. Der Z-Wert gibt also an, wie viele Standardabweichungen ein Messwert
- vom Mittelwert entfernt ist. Wie bereits erwähnt, ist die Standardabweichung lediglich ein Maß für die Streuung des Blutdrucks der Patienten um den
- Mittelwert. Kurz gesagt, der Z-Wert hüfte uns zu verstehen, wie außergewöhnlich oder normal eine bestimmte Messung im Vergleich zum
- Gesamtdurchschnitt ist. Aber wie berechnen wir den Z-Wert? Keine Angst, das ist einfach. Wir wollen ja nun irgendwie die Ausgangsdaten, in unserem
- Fall den Blutdruck in Z-Werte umrechnen, also eine Z-Standardisierung bzw. Z-transformation durchführen. Die Formel für die Z-Standardisierung sehen wir
- hier. Hierbei ist Z natürlich der Z-Wert, den wir berechnen möchten. X ist der beobachtete Wert, in unserem Fall der Blutdruck der jeweiligen Person. My
- der Mittelwert der Stichprobe, also in unserem Fall der Mittelwert aller 40 Patienten und Sigma ist die Standardabweichung der Stichprobe, also
- die Standardabweichung von unseren 40 Patienten. Achtung, eigentlich steht my und Sigma für den Mittelwert und die Standardabweichung der Grundgesamtheit.
- In unserem Fall haben wir aber nur eine Stichprobe. Wenn gewisse Voraussetzungen erfüllt sind, auf die wir später noch eingehen, können wir aber den Mittelwert
- und die Standardabweichung mit Hilfe der Stichprobe schätzen. Sagen wir, in unserem Beispiel haben die 40 Patienten einen Mittelwert von 130 und eine
- Standardabweichung von 20. Wenn wir beide Werte einsetzen, erhalten wir für z X - 130 durch 20. Nun können wir den Blutdruck von jedem einzelnen Patienten
- für X einsetzen und uns den Z-Wert berechnen. Machen wir das einfach mal für die ersten beiden Patienten. Sagen wir, dieser Patient hat einen Blutdruck
- von 97. Dann setzen wir einfach 97 für x ein und erhalten damit einen Z-Wert von -1,65. Also diese Person weicht vom Mittelwert
- um -1,65 Standardabweichungen ab. Die nächste Person hat einen Blutdruck von 108. Wenn wir diesen Wert wieder für x einsetzen, erhalten wir einen Z-Wert von
- -1,1. Das können wir nun auch für alle anderen Patienten machen. Egal, welche Einheit die Ausgangsdaten haben, wir haben nun
- eine Übersicht, in der wir sehen können, wie weit eine Person in Einheiten der Standardabweichung vom Mittelwert abweicht. Jetzt haben wir hier natürlich
- nur eine Stichprobe, die aus einer gewissen Grundgesamtheit stammt. Wenn die Daten jedoch normal verteilt sind und die Stichprobe größer als 30 ist,
- können wir mit Hilfe des Z-Wertes sagen, wie viel Prozent der Patienten einen niedrigeren Blutdruck als z.B. 110 haben und wie viel einen höheren Blutdruck als
- z.B. 110 haben. Aber wie geht das? Wenn die Ausgangsdaten normal verteilt sind, dann erhalten wir durch die Z-Standardisierung eine sogenannte
- Standardnmalverteilung. Die Standardnmalverteilung ist eine bestimmte Art der Normalverteilung, die einen Mittelwert von 0 und eine
- Standardabweichung von 1 hat. Das Besondere ist, dass jede Normalverteilung unabhängig von ihrem Mittelwert oder ihrer Standardabweichung
- in eine Standardnormalverteilung umgewandelt werden kann. Dadurch, dass es nun eine standardisierte Verteilung gibt,
- brauchen wir eigentlich nur eine Tabelle, die uns für möglichst viele Z-Werte sagt, wie viel Prozent der Werte unter diesem Wert liegen. Und eine
- solche Tabelle findest du in fast jedem Statistikbuch oder auf datatab.de. Den Link zu dieser Tabelle findest du in der Videobeschreibung.
- Jetzt ist natürlich die Frage, wie man diese Tabelle liest. Damit wir die Werte besser erkennen können, betrachten wir erstmal nur einen Ausschnitt von dieser
- Tabelle und schauen uns erstmal nur die ersten beiden Spalten an. Wenn wir z.B. einen Z-Wert von -2 haben, dann können wir aus der Tabelle einen Wert von
- 0,0228 ablesen. Das heißt, dass 2,28% der Werte kleiner als ein Z-Wert von -2 sind. Da wir insgesamt immer 100% bzw. 1 haben,
- sind 97,72% der Werte größer. Wenn wir z.B. einen Zwert von -1,5 haben, können wir in der Tabelle eine Fläche von 0,0668
- ablesen. Also 6,68% der Werte sind kleiner als ein Z-Wert von -1,5 und 93,32 der Werte sind größer. Und bei einem Z-Wert von 0 sind wir genau in der
- Mitte und erhalten einen Wert von 0,5. Also 50% der Werte sind kleiner als ein Z-Wert von 0 und 50% der Werte sind größer. Da die Normalverteilung
- symmetrisch ist, können wir genauso die Wahrscheinlichkeiten für positive Z-Werte ablesen. Wenn wir einen Z-Wert von 1 haben, brauchen wir nur bei -1
- nachschauen. Wir müssen aber beachten, dass wir in diesem Fall einen Wert erhalten, der uns sagt, wie viel Prozent der Werte größer als der Z-Wert sind.
- Bei einem Z-Wert von 1 sind also 15,81% der Werte größer und 84,14% der Werte sind kleiner. Was ist nun aber, wenn wir einen Z-Wert von -1,81
- in der Tabelle ablesen möchten? Hierfür brauchen wir nun die anderen Spalten. Ein Z-Wert von -1,81 können wir z.B. bei -1,8 und bei 0,01
- ablesen. Ein Set-Wert von -1,82 können wir bei -1,8 und 0,02 ablesen, bis schließlich einen Zwert von -1,89 bei -1,8 und 0,09.
- Also und nun schauen wir uns das alles noch einmal für einen Blutdruckwert an. Wenn wir z.B. wir wissen wollen, wie viel Prozent der Patienten einen
- Blutdruck unter 123 haben, können wir mit Hilfe der Z-Standardisierung den Blutdruck von 123 in einen Z-Wert umrechnen. In diesem Fall erhalten wir
- einen Z-Wert von -0,35. Nun können wir wieder die Tabelle mit den Z-Verteilungen hernehmen und bei einem Z-Wert von -0,35 nachschauen. Hier
- ergibt sich ein Wert von 0,3632. Also 36,32 % der Werte sind kleiner als ein Z-Wert von -0,35 und 36,68% sind größer. Jetzt habe ich euch aber
- einen wichtigen Anwendungsbereich der Z-Standardisierung vorenthalten. Die Z-Standardisierung kann helfen, auf unterschiedliche Weise gemessene Werte
- vergleichbar zu machen. Hier ein Beispiel. Nehmen wir an, wir haben zwei Klassen, Klasse A und Klasse B, die einen unterschiedlichen Test in Mathe
- geschrieben haben. Die Tests sind unterschiedlich gestaltet, haben einen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrad sowie eine unterschiedliche maximale
- Punktezahl. Um die Leistung der Schüler beider Klassen fair vergleichen zu können, können wir die Z-Standardisierung verwenden. Die
- durchschnittliche Punktzahl bzw. Der Mittelwert in der Klasse A betrug 70 Punkte mit einer Standardabweichung von 10 Punkten. Die durchschnittliche
- Punktzahl für den Test der Klasse B betrug 140 Punkte mit einer Standardabweichung von 20 Punkten. Nun wollen wir die Leistung von Max aus
- Klasse A, der 80 Punkte erreicht hat, mit der Leistung von Emma aus Klasse B, die 160 Punkte erreicht hat, vergleichen. Hierfür berechnen wir uns
- einfach den Z-Wert von Max und Emma. Wir tragen für x einmal 80 ein und erhalten einen Z-Wert von 1 und wir tragen 160 für x ein und erhalten auch einen Z-Wert
- von 1. Die Z-Werte von Max und Emma sind also genau gleich. Das bedeutet, dass beide Schüler relativ zu der durchschnittlichen Leistung und der
- Streuung in ihrer jeweiligen Klasse gleich gut abgeschnitten haben. Beide lagen genau eine Standardabweichung über dem Durchschnitt ihrer Klasse. Aber wie
- sieht es eigentlich mit den Voraussetzungen aus? können wir einfach die Z-Sstandardisierung berechnen und die Tabelle mit der
- Standardnmalverteilung verwenden. Die Z-Sstandardisierung an sich, also die Umwandlung von Daten in Z-Werte mittels dieser Formel hat im Wesentlichen keine
- strenge Voraussetzung. Diese Prozedur kann unabhängig von der Verteilung der Daten durchgeführt werden. Allerdings, wenn die resultierenden Z-Werte im
- Kontext der Standardnmalverteilung für statistische Analysen verwendet werden, z.B. für Hypothesentests oder Konfidenzintervalle, da müssen bestimmte
- Voraussetzungen erfüllt sein. Die Z-Verteilung setzt voraus, dass die zugrunde liegende Grundgesamtheit normal verteilt ist und dass der Mittelwert my
- und die Standardabweichung Sigma der Grundgesamtheit bekannt ist. Da man aber in der Praxis eigentlich nie die gesamte Grundgesamtheit hat und auch der
- Mittelwert und die Standardabweichung meistens nicht bekannt ist, ist diese Voraussetzung natürlich oft nicht erfüllt. Aber zum Glück gibt es noch
- eine alternative Voraussetzung. Obwohl die Z-Verteilung für normal verteilte Grundgesamtheiten definiert ist, kann der zentrale Grenzwertsatz für große
- Stichproben angewendet werden. Dieser Satz besagt, dass sich die Verteilung einer Normalverteilung annährt, wenn die Stichprobengröße größer als 30 ist.
- Daher, wenn deine Stichprobe größer als 30 ist, kannst du die Standardnmalverteilung als Annäherung verwenden und der Mittelwert und die
- Standardabweichung kann mit Hilfe der Stichprobe geschätzt werden. Wenn die Standardabweichung mit Hilfe der Stichprobe geschätzt wird, schreibt man
- üblicherweise S an Stelle von Sigma und für den Mittelwert X an Stelle von M. Jetzt darf man die Z-Standardisierung aber nicht mit dem Z-Test bzw. mit dem
- T-Test verwechseln. Wenn du wissen möchtest, was der Tetest ist, schau dir hierfür gerne mein nächstes Video an. Ciao und bis zum nächsten Mal.
Zum Nachlesen
Standardisierung (Statistik)Die Standardabweichung entspricht der Wurzel der Varianz und ist somit auch gleich eins. Die Werte einer standardisierten Zufallsvariable werden häufig z …
StandardnormalverteilungstabelleFlächeninhalte unter dem Graphen der Standardnormalverteilung ; 1,0, 0,84134, 0,84375 ; 1,1, 0,86433, 0,86650 ; 1,2, 0,88493, 0,88686 ; 1,3, 0,90320, 0,90490 ; 1,4 …
Gauß-TestMit dem Gauß-Test werden anhand von Stichproben-Mittelwerten Hypothesen über die Erwartungswerte derjenigen Grundgesamtheiten geprüft, aus denen die Stichproben …
NormalverteilungIhre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion wird auch Gauß-Funktion, gaußsche Normalverteilung, gaußsche Verteilungskurve, Gauß-Kurve, gaußsche Glockenkurve …