Standardisierung (Statistik)

Begriff und Bedeutung

Standardisierung, in Einführungskursen gelegentlich z-Transformation genannt, ist eine Transformation einer Zufallsvariablen. Die entstehende standardisierte Zufallsvariable hat Erwartungswert 0 und Varianz 1; ihre Standardabweichung, also die Wurzel der Varianz, ist daher ebenfalls 1. Ihre Werte heißen häufig z-Werte, z-Scores oder z-Statistiken.

Sie ist eine wesentliche Voraussetzung für die Konstruktion einiger statistischer Tests.

Zweck der Standardisierung

Standardisierung macht es möglich, unterschiedlich verteilte Zufallsvariablen miteinander zu vergleichen. Außerdem benötigen einige statistische Verfahren, zum Beispiel die Faktorenanalyse, standardisierte Zufallsvariablen.

Formel und Eigenschaften

Für eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert E(X) = μ und positiver Varianz Var(X) = σ² wird zunächst zentriert, also μ abgezogen, und anschließend durch die Standardabweichung σ = √Var(X) geteilt:

Z = (X − μ)/σ.

Dann gilt E(Z) = 0 und Var(Z) = 1. Ist X normalverteilt mit Erwartungswert μ und Varianz σ², dann ist Z standardnormalverteilt: Z ~ 𝒩(0,1).

Verteilungsfunktionen allgemein

Die Verteilungsfunktion F gibt für einen Wert t die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ t) an. Für die standardisierte Variable Z und die ursprüngliche Variable X gilt für alle t ∈ ℝ:

F_Z(t) = F_X(μ + σt).

Umgekehrt lässt sich die Verteilungsfunktion von X aus der von Z bestimmen:

F_X(t) = F_Z((t − μ)/σ).

Diese Beziehungen folgen daraus, dass Z ≤ t genau dann gilt, wenn X ≤ μ + σt.

Anwendung bei Normalverteilungen

Gilt X ~ N(μ, σ²), dann hat die standardisierte Variable Z die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung. Damit gilt für alle t ∈ ℝ:

F_X(t) = Φ((t − μ)/σ).

Alle Verteilungsfunktionen von Normalverteilungen können somit über Φ beschrieben werden. Beispielsweise ist

P(a < X ≤ b) = Φ((b − μ)/σ) − Φ((a − μ)/σ).

Für ein beliebiges Ereignis B gilt außerdem P(X ∈ B) = ∫(B{μ,σ}) dΦ(u), wobei B_{μ,σ} = {(t − μ)/σ | t ∈ B} der transformierte Integrationsbereich ist.

Abgrenzung zur Studentisierung

In Statistikprogrammen wie SPSS und Statistica gibt es oft eine Funktion zur „Standardisierung“ von Messergebnissen. Genau genommen handelt es sich dabei meist um Studentisierung: Da die genaue Verteilung der zugrundeliegenden Zufallsvariablen nicht bekannt ist, werden statt Erwartungswert und Varianz das arithmetische Mittel und die empirische Varianz verwendet. Die Begriffe Studentisieren und Standardisieren werden jedoch oft fälschlich gleichbedeutend gebraucht.