Schraublinie (Darstellende Geometrie)

Definition und mathematische Grundlagen

Eine Schraublinie, auch Schraubenlinie oder Helix genannt, ist eine räumliche Kurve, die durch die gleichzeitige Drehung um eine Achse und Verschiebung entlang dieser Achse entsteht. Sie ist beispielsweise für die Darstellung von Wendeltreppen, Gewinden und Spiralbohrern wichtig. Im Gegensatz zu einer Ellipse ist sie keine ebene Kurve.

Auf einem senkrechten Kreiszylinder besitzt die Schraublinie überall dieselbe Steigung gegenüber der Ebene des Basiskreises. Liegt die Zylinderachse auf der z-Achse und beginnt die Kurve bei (r,0,0), lautet ihre Parameterdarstellung (r cos t, r sin t, ct), c ≠ 0. Dabei bezeichnet r den Zylinderradius und c den Schraubparameter. Für c > 0 ist die Schraublinie rechtsgängig, für c < 0 linksgängig. Bei c = 0 entsteht ein Kreis.

Bei einer Änderung von t um 2π beträgt der Höhenunterschied, die sogenannte Ganghöhe, h = c·2π. Die Steigung, also der Tangens des Winkels zwischen Tangente und x-y-Ebene, ist konstant und beträgt c/r.

Wird der Zylindermantel in die Ebene abgewickelt, wird die Schraublinie zu einer Geraden mit der Steigung c/r. Umgekehrt kann man eine Gerade auf den Zylindermantel aufwickeln und so eine Schraublinie erzeugen. Deshalb lässt sie sich auch als straff gespannter Faden zwischen zwei Punkten eines Zylinders veranschaulichen. Jede Geodätische, also kürzeste Verbindung zweier Punkte auf dem Zylinder, ist eine Schraublinie.

Grundriss, Aufriss und Tangenten

Steht die Schraubachse senkrecht auf der Grundrisstafel, lassen sich Grundriss und Aufriss mit Zirkel und Lineal konstruieren. Vorgegeben sind der Zylinderradius r, die Ganghöhe h und ein Startpunkt P₀ auf dem Basiskreis.

Der Grundriss der Schraublinie ist der Basiskreis des Zylinders. Für die Punktkonstruktion teilt man ihn in gleichmäßigen Winkelabständen, beispielsweise 45°, 30° oder 15°. Die Teilung sollte so gewählt sein, dass zu jedem Punktepaar auf einem Durchmesser auch das Punktepaar auf dem dazu orthogonalen Durchmesser vorhanden ist.

Im Aufriss trägt man die Ganghöhe h auf der Zylinderachse ab und unterteilt sie in n gleiche Abschnitte. Durch die Teilpunkte zeichnet man Höhenlinien. Der Ordner, also die senkrechte Zuordnungslinie, durch den Grundrisspunkt Pᵢ schneidet die i-te Höhenlinie im zugehörigen Aufrisspunkt. Für mehrere Windungen wird dieses Verfahren nach oben fortgesetzt. Verbindet man die Punkte zu einer glatten Kurve, erhält man im Aufriss eine Sinuskurve.

Der Grundriss einer Tangente an die Schraublinie ist die Tangente an den Grundrisskreis. Für die Aufrisstangenten verschiebt man alle Tangenten parallel in einen Punkt S auf der Zylinderachse. Dadurch werden sie zu Erzeugenden eines Kegels. Liegt S in der Höhe c = h/(2π), treffen diese Erzeugenden den Basiskreis in den gewählten Teilpunkten. Dieser von den Tangenten bestimmte Kegel heißt Richtkegel. Die Aufrisstangente in einem Kurvenpunkt wird parallel zur entsprechenden Erzeugenden des Richtkegels gezeichnet. Anschließend zeichnet man die Schraublinie freihändig oder mit einem Kurvenlineal so, dass sie durch die konstruierten Punkte verläuft und die Tangenten berührt.

Orthogonale und schiefe Parallelprojektion

Für eine allgemeine orthogonale Parallelprojektion wird der Zylinder samt Schraublinie um einen Winkel δ um einen Durchmesser des Basiskreises gekippt. Ein Seitenriss zeigt den gekippten Zylinder und die Höhenmarkierungen.

Der Basiskreis erscheint im neuen Riss als Ellipse. Ihre große Halbachse entspricht dem Kreisradius. Im Seitenriss erscheint der Basiskreis als Strecke; deren Endpunkte liefern über Ordner die noch fehlenden Ellipsenscheitel. Die benötigten Kreispunkte können etwa mit der de-la-Hire-Methode oder durch Umklappen des Basiskreises in die Bildtafel genau konstruiert werden. Dreht man den Basiskreis in die Bildtafel, erscheint er in wahrer Gestalt, sodass die Grundrisse der Kurvenpunkte eingetragen werden können. Beim Zurückdrehen erhält man ihre Positionen auf der Ellipse. Über jedem Grundrisspunkt wird anschließend die durch das Kippen verkürzte Höhe abgetragen. Tangenten entstehen wieder mithilfe des Richtkegels.

Bei einer bestimmten Kippung liegt die Projektion der Richtkegelspitze auf dem Bild des Basiskreises. Dann besitzt die projizierte Schraublinie eine Spitze, weil die Projektionsstrahlen parallel zu einer Tangente der Schraublinie verlaufen. Bei stärkerer Kippung entsteht eine Schleife. Allgemein ist die orthogonale Projektion einer Schraublinie das affine Bild einer möglicherweise verlängerten oder verkürzten Zykloide.

Eine einfachere schiefe Parallelprojektion ist die Vogelperspektive oder Militärprojektion. Dabei fällt die Bildtafel mit der Basiskreisebene zusammen, sodass der Kreis unverändert bleibt und keine Ellipse konstruiert werden muss; die Bildwirkung ist jedoch schlechter. Man zeichnet den Basiskreis mit den Grundrisspunkten, ergänzt einen Seitenriss mit den Höhen und legt die schräge Projektionsrichtung durch den Winkel β fest. Die projizierten Höhen werden über den zugehörigen Grundrisspunkten abgetragen. Auch hier können die Tangenten über den Richtkegel bestimmt werden.

Anwendung auf Wendeltreppen

Eine Wendeltreppe entsteht in der geometrischen Konstruktion, indem eine vorgegebene erste Stufe schraubenförmig bewegt wird. Jeder Punkt dieser Stufe durchläuft dabei eine eigene Schraublinie. Deshalb können Grundriss, Aufriss und orthogonale Parallelprojektion einer Wendeltreppe mit denselben Punkt-, Höhen- und Tangentenkonstruktionen wie bei einer einzelnen Schraublinie erstellt werden.

Zentralprojektion bei paralleler Bildtafel

Bei einer Zentralprojektion mit zur Schraubachse paralleler Bildtafel kann die Architektenanordnung verwendet werden. Dabei ist die Schraubachse senkrecht. Die ebenfalls senkrechte Bildtafel π enthält zur Vereinfachung die Zylinderachse. Im Grundriss sind π und der Augpunkt O gegeben; der Aufriss liefert die Höhen der Kurvenpunkte und den Horizont h.

Zunächst konstruiert man Horizont, Hauptpunkt H, die Fluchtpunkte F₁ und F₂ der schrägen Kreisdurchmesser sowie die Zylinderachse mit den Höhenpunkten A₀, A₁, … im perspektivischen Bild. Ein Kurvenpunkt ergibt sich jeweils als Schnitt seines Ordners mit einer perspektivischen Hilfsgeraden. Beispielsweise liegt das Bild von P₀ auf dem Ordner durch seinen projizierten Grundriss 0′ und zugleich auf der Geraden HA₀. Das Bild von P₁ liegt auf seinem Ordner und auf F₁A₁. Liegt P₂ in der Bildtafel auf dem Horizont, schneidet man seinen Ordner direkt mit dem Horizont. Die weiteren Punkte werden entsprechend konstruiert.

Da die perspektivische Konstruktion jeder einzelnen Tangente aufwändig ist, zeichnet man die Kurve meist freihändig oder mit einem Kurvenlineal durch die Punkte. Eine größere Punktzahl verbessert die Genauigkeit. Dasselbe Verfahren lässt sich auf eine Wendeltreppe mit zur Schraubachse paralleler Bildtafel übertragen.

Zentralprojektion als hyperbolische Spirale

Steht die Bildtafel senkrecht zur Schraubachse und liegen Hauptpunkt H und Augpunkt O auf der Zylinderachse, erscheint die Schraublinie als hyperbolische Spirale. Für die zeichnerische Konstruktion kann der sinusförmige Aufriss der Schraublinie als Grundriss verwendet werden. Die Bildtafel schneidet den Zylinder in einem Kreis, der unverzerrt dargestellt wird. Der vordere Deckelkreis erscheint vergrößert, der hintere verkleinert. Die Zylindergeraden werden zu Tiefenlinien, die sich in H schneiden.

Für den rechnerischen Nachweis sei die Zylinderachse die z-Achse, H = (0,0,0) und O = (0,0,d), wobei d die Distanz zwischen Augpunkt und Hauptpunkt ist. Ein Raumpunkt (x,y,z)ᵀ wird dann auf d/(d−z) abgebildet. Aus der Schraublinie (r cos t, r sin t, ct)ᵀ entsteht daher die ebene Kurve [dr/(d−ct)](cos t, sin t). Ihre Polardarstellung lautet ρ = dr/(d−ct). Sie beschreibt eine hyperbolische Spirale, weil diese Gleichung in der ρ-t-Ebene eine Hyperbel darstellt.

Für t₀ = d/c besitzt die Polardarstellung eine Polstelle. An diesem Parameterwert schneidet die Schraublinie die Verschwindungsebene, also die zur Bildtafel parallele Ebene durch den Augpunkt. Nur der Kurventeil mit t < t₀ liegt vor dieser Ebene und ist sichtbar. Der Ast mit t > t₀ gehört zum unsichtbaren Teil hinter der Verschwindungsebene.

Die Spirale besitzt die Asymptote sin(t₀)x − cos(t₀)y = t₀r. Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich die Kurve unbegrenzt nähert. Hier ist sie zugleich das Bild der Tangente im Verschwindungspunkt der Schraublinie. Allgemein entstehen spiralförmige Bildkurven immer dann, wenn die Bildtafel nicht parallel zur Zylinderachse ist.