Logarithmische Spirale

Definition und mathematische Beschreibung

Eine logarithmische Spirale, auch spira mirabilis („Wunderspirale“), ist eine Spirale, deren Abstand r vom Mittelpunkt bei jeder vollständigen Umdrehung um denselben Faktor wächst oder schrumpft. Ihr Radius wächst proportional zur Bogen- beziehungsweise Spirallänge. Kennzeichnend ist außerdem: Jede Gerade durch den Pol, also den Mittelpunkt der Spirale, schneidet ihre Tangenten stets unter demselben Winkel. Deshalb heißt sie auch gleichwinklige Spirale; diese Winkeleigenschaft charakterisiert sie eindeutig.

In Polarkoordinaten wird sie für a, k ∈ ℝ ∖ {0} durch r(φ) = a·e^(kφ), φ ∈ ℝ, beschrieben. Dabei ist e die Eulersche Zahl, a bestimmt unter anderem die Größe und k heißt Steigung der Spirale. Mit dem Steigungswinkel α gilt k = tan(α), wobei α ∈ ]−π/2, π/2[. Der Steigungswinkel ist der Komplementärwinkel zum Tangentenwinkel ᾱ, also ᾱ + α = 90°.

In kartesischen Koordinaten lautet die Parameterdarstellung x(φ) = a·e^(kφ)·cos(φ) und y(φ) = a·e^(kφ)·sin(φ). Nach dem Winkel aufgelöst ergibt sich die namensgebende logarithmische Form φ(r) = (1/k)·ln(r/a). Dabei stammt r aus ℝ⁺, falls a > 0, und aus ℝ⁻, falls a < 0.

Eine gleichwertige Definition verwendet die Differentialgleichung (1/r)·dr/dφ = k: Gilt sie für ein festes k und alle reellen φ, so bilden die Punkte (r(φ), φ) eine logarithmische Spirale mit dem Steigungsparameter k. In der komplexen Ebene ist auch die Darstellung w(t) = a·z^t für t ∈ ℝ möglich, sofern z ∈ ℂ ∖ ℝ und |z| ≠ 1.

Zentrale Eigenschaften und Formeln

Das Vorzeichen des Produkts a·k bestimmt die anschauliche Drehrichtung. Der konstante Tangentenwinkel ᾱ erfüllt tan(ᾱ) = 1/k = cot(α) und ᾱ = π/2 − α. Die Spirale umkreist den Ursprung unendlich oft, erreicht ihn jedoch bei keinem endlichen Winkelwert; der Ursprung ist daher ein asymptotischer Punkt. Trotzdem ist die Bogenlänge von einem Kurvenpunkt bis zum Pol endlich: s(φ) = a·(√(1+k²)/k)·e^(kφ).

Nach jeder vollen Windung wird der Radius mit demselben Faktor multipliziert: r(φ + 2π) = e^(2πk)·r(φ). Entsprechend gilt für aufeinanderfolgende Radien r₂/r₁ = r₃/r₂ = r₄/r₃ = e^(2πk). Dabei ist e^(2π) ≈ 535,5. Im Unterschied dazu nimmt der Radius einer archimedischen Spirale bei jeder Windung um einen konstanten Betrag zu.

Die logarithmische Spirale ist selbstähnlich: Eine zentrische Streckung um den Faktor e^(kγ) zusammen mit einer Drehung um γ bildet sie wieder auf sich selbst ab. Alle logarithmischen Spiralen mit gleicher Steigung sind ähnlich. Außerdem ist die Kurve ihre eigene Evolute, ihre eigene Brennlinie oder Kaustik und ihre eigene Fußpunktkurve. Eine Inversion r ↦ 1/r bewirkt eine Spiegelung an der x-Achse und eine Drehung; bei |a| = 1 bleibt nur die Spiegelung. Dabei wird eine linksdrehende Spirale rechtsdrehend und umgekehrt. In der projektiven Geometrie ist sie eine W-Kurve, also invariant unter einer einparametrigen Gruppe projektiver Transformationen.

Wichtige Rechenformeln sind: • Steigung: (1/r)·dr/dφ = k = tan(α). • Krümmungsradius: ρ(r) = r·√(1+k²) = r/cos(α). • Bogenlänge zwischen r₁ und r₂: s(r₂) − s(r₁) = √(1+k²)·(r₂ − r₁)/k = (r₂ − r₁)/sin(α). • Flächeninhalt zwischen r₁ und r₂: A(r₂) − A(r₁) = (r₂² − r₁²)/(4k).

Spezialfälle, Näherungen und Kugelgeometrie

Für k → 0 nähert sich die logarithmische Spirale immer stärker einem Kreis mit Radius a. Setzt man k = 0 direkt in die Kurvengleichung ein, entsteht dieser Kreis mit einem Schnittwinkel von 90° = π/2. Deshalb kann der Kreis als Spezialfall einer logarithmischen Spirale aufgefasst werden, was besonders in der Kugelgeometrie wichtig ist.

Die Goldene Spirale ist ein besonderer Fall. Sie lässt sich erzeugen, indem ein Goldenes Rechteck wiederholt in ein Quadrat und ein kleineres Goldenes Rechteck geteilt wird. Für sie gilt k = 4·ln(Φ)/(2π), wobei Φ = (√5 + 1)/2 der Goldene Schnitt ist.

Eine logarithmische Spirale kann durch einen Polygonzug angenähert werden. Dazu werden Dreiecke mit gleichem Steigungswinkel aneinandergesetzt; jeweils ist die kürzere Seite eines Dreiecks so lang wie die längere Seite des vorherigen. Das Prinzip lässt sich auf bestimmte irreguläre Polygone erweitern und führt häufig zu mehrgängigen Spiralen.

Durch stereografische Projektion besteht eine enge Beziehung zur Loxodrome, einer Kurve auf einer Kugel, die alle Längenkreise unter einem konstanten Winkel schneidet. Dazu wird eine Kugel so auf den Ursprung der Ebene gesetzt, dass der Berührungspunkt ihr Südpol ist. Strahlen von den Punkten der ebenen Spirale durch die Kugel zum Nordpol bestimmen auf der Kugeloberfläche eine Loxodrome. Geraden durch den Ursprung werden dabei zu Längenkreisen. Umgekehrt ergibt die passende Projektion einer Loxodrome, deren asymptotische Punkte Nord- und Südpol sind, in der Ebene eine logarithmische Spirale. Die stereografische Projektion ist winkeltreu.

Vorkommen und technische Anwendungen

In der Natur treten logarithmische oder näherungsweise logarithmische Spiralen mit unterschiedlichen Steigungen auf. Genannt werden durch Wachstum entstandene Schneckenhäuser, die Anordnung der Kerne in einer Sonnenblumenblüte und der Blütenstand des Romanesco, einer Blumenkohlsorte namens Brassica Oleracea. Annähernd spiralförmige Strukturen finden sich außerdem in dynamischen Mehrkörpersystemen, in fluiddynamischen Systemen wie Wirbeln bei ausreichend großem Geschwindigkeitsgradienten sowie in technischen Verfahren wie dem Hinterdrehen.

Ein beschriebenes Beispiel ist die Orientierung eines Fluginsekts: Beim nächtlichen Flug hält es zum weit entfernten Mond einen konstanten Winkel. Bei einer nahen, punktförmig erscheinenden Straßenlaterne muss es seine Richtung jedoch fortlaufend korrigieren. Dadurch kann seine Flugbahn zu einer logarithmischen Spirale werden, in deren Zentrum die Laterne liegt.

Technisch wird die Form genutzt, wenn ein gleichbleibender Kontaktwinkel, Selbstähnlichkeit oder eine günstige Kraftübertragung benötigt wird. Bei der Ratsche eines Spanngurts sollten die Flanken der Zähne, die die Sperrklinke anheben, die Form einer logarithmischen Spirale besitzen, um ein Klemmen zu verhindern. Weitere genannte Anwendungen sind automatisch einstellende Schraubenschlüssel, hexagonale Kreispackungen, Spiralantennen, Klemmgeräte für Felsrisse, Steigklemmen, Curryklemmen, das Swan Device, die PSS-Lenkung und Kurvenscheiben. Kegelradgetriebe mit logarithmischer Spiralverzahnung zeichnen sich durch hohe Laufruhe aus.

Historische Entwicklung

Die erste bekannte Beschreibung stammt von Albrecht Dürer (1471–1528). In seinem Werk „Underweysung der messung mit dem zirckel un richtscheyt“ von 1525 bezeichnete er die Form als „ewige lini“. Seine Darstellung bestand jedoch nur aus einer Freihandzeichnung und enthielt weder eine Konstruktion noch eine Formel.

Descartes (1596–1650) formulierte 1638 die erste mathematisch exakte Definition und entdeckte die Tangenteneigenschaft. Etwa zur selben Zeit untersuchte Torricelli (1608–1647) die Spirale und beschrieb ihre punktweise Konstruktion. Jakob I Bernoulli (1655–1705) erforschte sie intensiv und nannte sie wegen ihrer besonderen Eigenschaften spira mirabilis. Die Bezeichnung „logarithmische Spirale“ verwendete Pierre Varignon erstmals 1704. Der Artikel weist allgemein darauf hin, dass einige Angaben nicht hinreichend mit Belegen ausgestattet sind.