Zentralprojektion

Grundprinzip und Wirkung

Die Zentralprojektion ist ein Verfahren der darstellenden Geometrie, mit dem räumliche Objekte anschaulich auf einer Ebene, der Bildtafel, dargestellt werden. Anders als bei der Parallelprojektion verlaufen die Projektionsstrahlen nicht parallel, sondern jeweils durch einen festen Punkt O, den Augpunkt. Dadurch ähnelt das Bild dem Sehen mit einem Auge im Augpunkt und dem Fotografieren.

Parallele Geraden, die nicht parallel zur Bildtafel verlaufen, werden als Bildgeraden dargestellt, die sich in einem Fluchtpunkt schneiden. Parallele Geraden zur Bildtafel besitzen keinen endlichen Fluchtpunkt; ihr Fluchtpunkt liegt „im Unendlichen“. Zentralprojektionen wirken daher meist natürlicher als Parallelprojektionen. Beide Projektionsarten werden unter anderem in Technik, Architektur, Kartografie, Malerei, Zeichnen und Computergrafik verwendet.

Ein Nachteil ist, dass aus einer Zentralprojektion weder Längen noch Längenverhältnisse abgelesen werden können. Im Unterschied zur verhältnistreuen Parallelprojektion bleibt nur das Doppelverhältnis, also ein Verhältnis von Verhältnissen, invariant.

Wichtige Begriffe und Fluchtpunkte

Der Lotfußpunkt des Augpunkts O auf der Bildtafel heißt Hauptpunkt. Er gilt als Mittelpunkt des Bildes. Der Abstand zwischen Augpunkt und Bildtafel heißt Distanz. Sind Hauptpunkt und Distanz bekannt, kann das Auge beim Betrachten an der richtigen Stelle positioniert werden, um den vorgesehenen Bildeindruck zu erhalten.

Der Fluchtpunkt eines Bündels paralleler Geraden ist der gemeinsame Schnittpunkt ihrer Bildgeraden. Er ist zugleich der Spurpunkt, also der Schnittpunkt mit der Bildtafel, jener Geraden des Bündels, die durch den Augpunkt verläuft. Tiefenlinien sind Geraden senkrecht zur Bildtafel; ihr gemeinsamer Fluchtpunkt ist der Hauptpunkt. Die Fluchtpunkte aller horizontalen Richtungen bilden den horizontalen Horizont h. Bei senkrechter Bildtafel liegt der Hauptpunkt auf dem Horizont.

Bei quaderförmigen Objekten gibt es drei natürliche Fluchtpunkte, wenn keine Kante parallel zur Bildtafel ist, zwei Fluchtpunkte bei einer parallelen Kantenrichtung und einen Fluchtpunkt bei zwei parallelen Richtungen. Der letzte Fall heißt Frontalperspektive. Die Standebene entspricht der Grundrissebene; ihre Schnittgerade mit der Bildtafel heißt Standlinie. Standlinie und Horizont sind immer parallel.

Betrachtung und Verzerrungen

Alle Raumpunkte außer den Punkten der zur Bildtafel parallelen Verschwindungsebene π_v durch den Augpunkt können abgebildet werden. Die Punkte dieser Ebene heißen Verschwindungspunkte. In der darstellenden Geometrie liegen Objekt und Bildtafel auf derselben Seite von π_v; bei der Fotografie liegen sie auf verschiedenen Seiten. Deshalb steht das Bild in der Kamera zunächst auf dem Kopf.

Ein Bild kann am Rand verzerrt wirken, wenn das Auge nicht im Augpunkt steht. Bei korrekter Augenposition und Fixierung des Hauptpunkts ist der überblickbare Bereich annähernd kegelförmig. Sein Schnitt mit der Bildtafel heißt Sehkreis; sein Radius beträgt ungefähr 0.58·Distanz und entspricht einem halben Öffnungswinkel von 30°.

Die Zentralprojektion stellt Randbereiche zu groß dar: Bei einem zur Bildtafel parallelen Schachbrett werden alle Felder gleich groß und quadratisch abgebildet, obwohl weiter außen liegende Felder weiter vom Betrachter entfernt sind. Fischaugenobjektive machen diesen Effekt sichtbar. Viele Weitwinkelobjektive nähern sich der Zentralperspektive an, indem sie randnahe Bildteile vergrößern; dadurch bleiben zur Bildtafel parallele Geraden möglichst gerade. Dies kann in Architekturfotografie akzeptabel sein, Landschaften dramatischer wirken lassen, bei Personengruppen aber unbefriedigend sein. Bei Video-Schwenks können Randobjekte unnatürlich „fließen“.

Einfluss der Perspektivparameter und Konstruktion

Wird bei festem Augpunkt die Bildtafel auf O zu verschoben, verkürzt sich die Distanz und das Bild wird nur zu einem ähnlichen Bild verkleinert; Winkel bleiben erhalten. Bleibt dagegen die Bildtafel fest und wird O zum Hauptpunkt verschoben, entsteht eine wesentlich andere Bildwirkung: Das neue Bild ist nicht ähnlich, und entsprechende Winkel sind nicht mehr gleich. Eine Verschiebung des Hauptpunkts entlang OH bewirkt nur eine Vergrößerung oder Verkleinerung; eine Verschiebung des Augpunkts entlang OH verändert das Bild wesentlich.

Die Konstruktion ist aufwendiger als bei der Parallelprojektion. Ein dem Einschneideverfahren ähnliches Verfahren heißt Architektenanordnung und verwendet besonders positionierte Grund- und Aufrisse. Dabei werden Punkte verbunden und Geraden geschnitten; Fluchtpunkte helfen bei parallelen Richtungen.

Eine einfachere Methode ist die Frontalperspektive. Die Bildtafel ist dabei zu einer wesentlichen Ebene des Objekts, etwa einer Hausfront, parallel oder mit ihr identisch. Im zweiten Fall kann der Aufriss direkt zur Frontalperspektive ausgebaut werden. Kreise in dieser wesentlichen Ebene werden wieder als Kreise abgebildet. Nachteilig ist die starke Betonung der Frontebene; bei einer Zentralprojektion mit zwei wesentlichen Fluchtpunkten ist dies meist nicht so.

Formeln und Anwendungen

Für die analytische Beschreibung dient der Hauptpunkt H mit Ortsvektor h als Ursprung der Bildtafel. Der Normaleneinheitsvektor n₀ zeigt von H zum Augpunkt O, und mit Distanz d gilt O: h + d n₀. Die Einheitsvektoren e₁ und e₂ ergänzen n₀ zu einem Orthonormalsystem {e₁,e₂,n₀}; e₁ ist horizontal.

Für P: p = (x,y,z) lauten die Koordinaten im neuen System: x̄ = (p−h)·e₁, ȳ = (p−h)·e₂, z̄ = (p−h)·n₀. Die Projektion auf die x̄-ȳ-Ebene ist (x̄,ȳ,z̄) → (x̄/(1−z̄/d), ȳ/(1−z̄/d)).

Mit Kugelwinkeln u und v ist n₀ = (cos u cos v, sin u cos v, sin v), mit u ∈ [0,2π] und v ∈ [−π/2,π/2]. Weiter gilt e₁ = (−sin u, cos u, 0) und e₂ = (−cos u sin v, −sin u sin v, cos v). Eine konkrete Zentralprojektion benötigt H, d sowie u und v, insgesamt sechs Zahlen. Für d → ∞ entstehen die Formeln der senkrechten Parallelprojektion. Diese ist linear; die Zentralprojektion ist es erst mit homogenen Koordinaten.

Anwendungen sind darstellende Geometrie, Architektur, Malerei, Zeichnen, Computergrafik, Computer Vision, Fotografie und Photogrammetrie, etwa zur Gebäuderekonstruktion, Auswertung von Luftbildern und Entzerrung von Schrägaufnahmen. In der Kartografie heißt die entsprechende Abbildung azimutale Projektion; genannt werden gnomonische und stereografische Projektion. In der Gnomonik dient sie zur Abbildung der Sonne auf ein Sonnenuhr-Zifferblatt.