Klothoide

Definition und mathematische Eigenschaften

Die Klothoide ist eine spezielle ebene Kurve. Sie ist bis auf Ähnlichkeit eindeutig dadurch bestimmt, dass ihre Krümmung an jeder Stelle proportional zur bis dorthin gemessenen Bogenlänge ist. Entsprechend ist ihr Krümmungsradius R umgekehrt proportional zur Bogenlänge L:

R = A²/L, L > 0 beziehungsweise A² = R·L.

A ist eine feste positive reelle Zahl und heißt Klothoidenparameter. Die Krümmung κ = 1/R nimmt entlang der Kurve linear zu oder ab. Deshalb eignet sich die Klothoide besonders als stetiger Übergang zwischen einer Geraden mit Krümmung 0 und einem Kreisbogen mit konstanter Krümmung 1/R. Die Kurve ist unendlich lang und nähert sich an beiden Enden asymptotisch zwei Punkten.

Für den Ausgangspunkt (0,0) und die Anfangssteigung 0 lautet eine Parameterdarstellung:

(x(l), y(l)) = A√π ∫₀ˡ (cos(πt²/2), sin(πt²/2)) dt.

Dabei ist L = Al√π die Bogenlänge vom Ursprung bis zum betrachteten Punkt und κ(l) = (√π/A)l die Krümmung. Die asymptotischen Punkte liegen bei (A√π/2, A√π/2) und (−A√π/2, −A√π/2).

Die Gleichungen wurden 1694 von Jakob I Bernoulli niedergeschrieben. Leonhard Euler zeichnete und berechnete die Kurve 1743 und bestimmte 1781 ihre asymptotischen Endpunkte. Alfred Cornu entdeckte die Gleichungen 1874 bei Beugungsberechnungen unabhängig erneut; daher heißt die Kurve auch Cornuspirale oder Euler-(Cornu-)Spirale. Im Straßenbau wurde sie erstmals 1937 von Leopold Oerley als Geometrieelement eingesetzt.

Einheitsklothoide und Berechnung

Die Einheitsklothoide besitzt den Parameter A = 1. Da alle Klothoiden geometrisch ähnlich sind, können ihre Koordinaten durch proportionale Vergrößerung oder Verkleinerung gewonnen werden: Tabellenwerte der Einheitsklothoide werden mit dem gewünschten Parameter A multipliziert. Solche Tabellenwerke waren früher für Entwurf und Absteckung wichtig.

In der üblichen Bezeichnung ist R der Krümmungsradius am Ende des betrachteten Abschnitts, L seine Länge und T der Schnittwinkel der Tangenten im Anfangs- und Endpunkt im Bogenmaß. X bezeichnet die Strecke auf der Ursprungstangente, Y den dazu orthogonalen Abstand. Es gelten:

A² = R·L T = L²/(2A²) = L/(2R) X = ∫₀ᴸ cos(L²/(2A²)) dL Y = ∫₀ᴸ sin(L²/(2A²)) dL.

Für Computerberechnungen werden die Potenzreihen von Sinus und Kosinus integriert. Daraus folgen:

X = L·(1 − T²/(2!·5) + T⁴/(4!·9) − T⁶/(6!·13) ± …) Y = L·(T/3 − T³/(3!·7) + T⁵/(5!·11) − T⁷/(7!·15) ± …).

Die Reihen konvergieren schon nach wenigen Schritten. Im üblichen Trassierungsbereich R/3 ≤ A ≤ R ist T höchstens 0,5; Programme sollten für Sonderfälle dennoch Werte bis π = 3,14159 zulassen. Die Genauigkeit lässt sich durch einen Grenzwert zum Abbruch der Reihenberechnung steuern. Bei 8-Byte-Zahlen im Format double precision sind fünf gültige Nachkommastellen üblich. Abschließend werden die lokalen Koordinaten X und Y in das übergeordnete Koordinatensystem transformiert. Moderne Trassierungs- und CAD-Programme erledigen diese Berechnung automatisch.

Fresnelsche Integrale und Optik

In der Optik beschreiben Fresnelsche Integrale Erscheinungen der Fresnelschen Beugung im Nahfeld. Die Fraunhofersche Beugung behandelt dagegen Parallelstrahlen aus dem Unendlichen, die durch Linsen auf eine endliche Ebene abgebildet werden. Beide sind Grenzfälle des Kirchhoffschen Beugungsintegrals. Für einen reellen Parameter λ lauten die Integrale:

Sλ(x) = ∫₀ˣ sin(λt²) dt = Σₙ₌₀∞ (−1)ⁿ λ^(2n+1)x^(4n+3)/((4n+3)(2n+1)!) Cλ(x) = ∫₀ˣ cos(λt²) dt = Σₙ₌₀∞ (−1)ⁿ λ^(2n)x^(4n+1)/((4n+1)(2n)!).

Mit (x(l), y(l)) = (Cλ(l), Sλ(l)) entsteht eine Parameterdarstellung der Klothoide. Für λ = π/2 erhält man die Klothoide mit A = 1/√π. Ihre Konvergenzpunkte sind (z,z) und (−z,−z), wobei z = √(π/(8|λ|)).

Da √(sin²(λt²) + cos²(λt²)) = 1 gilt, ist die vom Ursprung gemessene Bogenlänge Lλ(l) = l. Der Parameter entspricht somit direkt der Bogenlänge; dies heißt natürliche Kurvenparametrisierung. Die Krümmung beträgt κ(l) = 2λl. Der Zusammenhang mit dem in der Verkehrsplanung verwendeten Winkel ist T = L/(2R) = lκ(l)/2 = λl².

Nahe dem Ursprung ergibt das erste Glied der Taylorreihe die Näherung (x(l), y(l)) ≈ (l, λl³/3), also y ≈ λx³/3. Dort ähnelt die Klothoide damit einer kubischen Parabel.

Einsatz bei Straßen, Bahnen und anderen Verkehrswegen

Im Verkehrswegebau verbindet die Klothoide zwei Elemente mit konstanter, aber unterschiedlicher Krümmung, besonders eine Gerade und einen Kreisbogen. Während ein unmittelbarer Wechsel einen abrupten Ruck hervorrufen würde, sorgt die linear veränderliche Krümmung für einen allmählichen Übergang der Querbeschleunigung.

Die Bemessung richtet sich nach der Entwurfsgeschwindigkeit. Aus ihr ergeben sich Mindestradien und Mindestwerte des Klothoidenparameters. Fernverbindungen erhalten meist eine höhere, regionale Verbindungen eine niedrigere Entwurfsgeschwindigkeit. Auch Verkehrsaufkommen und Gelände werden berücksichtigt; innerörtliche Straßen werden meist nicht fahrdynamisch oder nur für geringe Geschwindigkeiten trassiert.

Bei Straßen hat die Klothoide drei Hauptaufgaben:

• Sie ermöglicht ein gleichmäßiges Einlenken. Bei konstanter Geschwindigkeit und gleichmäßig wachsendem Lenkeinschlag folgt ein Fahrzeug näherungsweise einer Klothoide.

• Sie bietet die nötige Länge für die Verwindung der Fahrbahn. Dabei werden die Fahrbahnränder so um die Achse gedreht, dass die Querneigung für Entwässerung und Begrenzung der Querbeschleunigung angepasst wird. Die Erdbeschleunigung von 9,81 m/s² wirkt bei geneigter Fahrbahn teilweise der Querbeschleunigung entgegen.

• Sie verbessert die optische Linienführung. Ein Krümmungswechsel erscheint aus Fahrerperspektive ohne Übergangsbogen wie ein Knick; mit einer Klothoide ist die Kurve früher und besser erkennbar.

Bei Eisenbahnen vermeidet der Übergangsbogen sprunghafte Querbeschleunigungen sowie erhöhten Verschleiß an Schienen und Radsätzen. In Deutschland wird in Kurven nur die äußere Schiene angehoben; diese Überhöhung kann innerhalb des Übergangsbogens linear aufgebaut werden. Bei konventionellen Geschwindigkeiten unter 160 km/h werden auch kubische Parabeln, sogenannte Blossbögen, verwendet. Klothoiden kommen außerdem bei Achterbahnen und in den Rollenbatterien von Seilbahnstützen zum Einsatz, um Querkräfte und Belastungen für Fahrgäste zu verringern.

Aus fahrdynamischen Gründen soll eine Klothoide zwischen den Kennstellen 3 und 1 liegen. Größere Kennstellen als 3 können zum zu späten Einlenken führen; bei Werten unter 1 kann der Fahrer dem Kurvenverlauf möglicherweise nicht folgen. Daraus ergeben sich die Grenzen R/3 ≤ A ≤ R. Die Stelle R = L = A heißt Kennstelle 1.

Planung einer Verkehrsachse und Darstellung

Die Berechnung einer Verkehrsachse erfolgt in zwei Stufen. In der Entwurfsplanung werden bei der Achshauptpunktberechnung die Hauptelemente festgelegt. Jedem Hauptpunkt wird eine Station zugewiesen, also die aufsummierte Entfernung vom Achsanfang. In der Ausführungsplanung verdichtet die Achskleinpunktberechnung diese Punktfolge so weit, dass Absteckung und Bau möglich sind.

Bei der typischen Folge Gerade – Klothoide – Kreisbogen – Klothoide – Gerade rückt der Kreisbogen durch die Übergangsbögen um D von der Geraden ab. Für den Klothoidenendpunkt (XE, YE), den Kreismittelpunkt (XM, YM), Radius R und Tangentenwinkel T gelten:

XM = XE − R·sin T YM = YE + R·cos T D = YM − R.

Der Schnittwinkel der Geraden muss größer als die Summe der Drehwinkel beider Klothoiden sein. Im Bereich R/3 ≤ A ≤ R benötigt jede Klothoide zwischen 3,54 gon beziehungsweise 3,18° und 31,83 gon beziehungsweise 28,65°. Ist der Schnittwinkel genau so groß wie die erforderliche Summe, wird die Kreisbogenlänge null; diese Scheitelklothoide soll vermieden werden.

Zwischen gegenläufig gekrümmten Kreisbögen entsteht eine Wendeklothoide mit zwei Ästen, die einen gemeinsamen Ursprung und dieselbe Tangentensteigung besitzen dürfen, aber unterschiedliche Parameter haben können. Gleichsinnig gekrümmte Kreisbögen werden durch eine Eiklothoide verbunden; dabei liegt der Ursprung der Klothoide nicht auf der Achse. Anders als Geraden oder Kreisbögen lassen sich Klothoiden nicht exakt parallel verschieben. Bei kurzen Abschnitten sind die Abweichungen oft kleiner als die Bautoleranz, müssen aber stets rechnerisch geprüft werden.

Im Lage- und Höhenplan ergänzt das Krümmungsband die Darstellung. Seine waagrechte Achse entspricht der Achslänge. Geraden liegen wegen κ = 0 auf dieser Achse; Kreisbögen erscheinen wegen ihrer konstanten Krümmung 1/R als waagrechte Linien oberhalb der Achse für Rechtsbögen und unterhalb für Linksbögen. Klothoiden bilden schräge Rampen, weil ihre Krümmung linear zu- oder abnimmt. So wird die Kurvigkeit der gesamten Strecke sichtbar. Darunter zeigt das Querneigungsband die Querneigung. Querneigungswechsel liegen meist innerhalb der Klothoiden und müssen für eine funktionierende Entwässerung genau mit der Gradiente, also dem Höhenverlauf der Trasse, abgestimmt werden.