Pythagoras-Baum

Grundidee und Aufbau

Ein Pythagoras-Baum ist ein Fraktal, also eine Figur, die durch wiederholte Anwendung derselben Konstruktionsregel entsteht. Die Grundidee basiert auf dem Satz des Pythagoras: Auf ein Quadrat werden zwei kleinere Quadrate so gesetzt, dass zwischen ihnen ein rechtwinkliges Dreieck liegt. Wird diese Vorschrift immer wieder auf die neu entstandenen Quadrate angewendet, entsteht im Grenzfall eine baumähnliche Form.

Wegen des rechten Winkels im eingeschlossenen Dreieck bleibt die Gesamtfläche jeder Ebene gleich. Deshalb ist die Fläche des ersten Quadrats, des „Stammes“, genau so groß wie die Summe der Flächen aller äußersten Quadrate, der „Blätter“, einer Ebene.

Zur Konstruktion beginnt man mit einer Grundlinie und errichtet darauf ein Quadrat. Auf dessen Oberseite wird ein Thaleskreis gezeichnet und beliebig geteilt. Der Teilungspunkt wird mit den Endpunkten der Quadratoberseite verbunden, sodass ein rechtwinkliges Dreieck entsteht. Auf den beiden Schenkeln dieses Dreiecks werden wieder Quadrate errichtet. Danach wird der Vorgang beliebig oft wiederholt.

Symmetrischer Baum

Ein Pythagoras-Baum ist symmetrisch, wenn das erste rechtwinklige Dreieck die Innenwinkel 45°, 45° und 90° hat. Bei einer Seitenlänge des ersten Quadrats von a haben die beiden Katheten des Dreiecks jeweils die Länge (√2 / 2) · a, die Hypotenuse hat die Länge a. Die Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte der Hypotenuse dieses ersten rechtwinkligen und gleichschenkligen Dreiecks.

Für diesen symmetrischen Fall lassen sich wichtige Größen mit geometrischen Reihen berechnen. Die maximale Höhe ergibt sich, indem man Äste übereinanderstellt, deren Grundseiten jeweils halb so groß sind wie die des vorherigen Astes. Daraus folgt:

h = 2 · a + a + a/2 + a/4 + a/8 + … = 4 · a.

Die Breite setzt sich aus den beiden querliegenden Teilbäumen, dem Stamm und den beiden Hauptästen zusammen. Sie beträgt:

6 · a.

Die lichte Höhe unter dem ersten Blattwerk, also der Abstand der ersten Blätter zum „Rasen“, beträgt beim symmetrischen Baum a/4. Dabei wird berücksichtigt, dass eine Baumseite insgesamt (5/2) · a über den Stamm hinausragt und der erste horizontal wachsende Teilast einen Abstand von (3/2) · a zum Rasen hat.

Längen und Umfang

Für die Stammlänge des symmetrischen Pythagoras-Baums werden die Seitenlängen der Quadrate entlang einer Linie addiert. Die Seitenlänge des i-ten Quadrats ist, bei Nummerierung ab 0:

(√2 / 2)^i · a.

Die Gesamtlänge dieser roten Stammlinien ist daher:

a · Σ(i=0 bis ∞) (√2 / 2)^i = a · (2 + √2) ≈ 3,414 · a.

Die Länge der Baumkrone wird über die horizontalen blauen Linien berechnet. Der maximale Abstand eines Links-rechts-Astes von der ersten Mittellinie beträgt (3/2) · a; für den gespiegelten Ast gilt dasselbe. Die obere horizontale Linie hat deshalb die Länge 3 · a. Jede weitere blaue Linie gehört zu einem kleineren Teilbaum und ist dreimal so lang wie die entsprechende rote Linie. Insgesamt beträgt die Länge der blauen Linien:

3 · a · (2 + √2).

Für den Umfang eines symmetrischen Pythagoras-Baums zählt man zweimal die blauen Linien, zweimal die roten Linien und die Grundlinie. Die obere blaue Linie wurde dabei doppelt gezählt und wird einmal abgezogen. So ergibt sich:

2 · a · (7 + 4√2) ≈ 25,313 · a.

Allgemeiner Baum

Beim allgemeinen Pythagoras-Baum werden auf die Quadrate jeweils beliebige, aber kongruente rechtwinklige Dreiecke gesetzt. Kongruent bedeutet: Die Dreiecke haben gleiche Form und gleiche Größe. Die Hypotenuse des ersten Dreiecks habe die Länge a, die Katheten die Längen a1 und a2; die gegenüberliegenden Winkel heißen α, α1 und α2.

Der Flächeninhalt der Quadrate, die bei jedem Iterationsschritt hinzukommen, ist nach dem Satz des Pythagoras in jeder Ebene gleich groß. Zählt man Überlappungen mit, ist der gesamte Flächeninhalt des Pythagoras-Baums unendlich groß. Die Höhe und Breite bleiben jedoch endlich, weil sich der Abstand jedes neuen Quadrats zum vorherigen Quadrat um einen konstanten Faktor verkleinert. Der tatsächlich überdeckte Flächeninhalt ohne Überlappungen ist daher endlich.

Der Umfang des allgemeinen Pythagoras-Baums ist unendlich. Bezeichnet U den Umfang des ganzen Baums und U1 sowie U2 die Umfänge des rechten und linken Teilbaums ohne die untere Seite des ersten Quadrats, dann gilt U1 + U2 + 2 · a = U. Wegen der Ähnlichkeit der Teilbäume gilt U1 = (a1 · U) / a und U2 = (a2 · U) / a. Daraus folgt eine Gleichung, die wegen der Dreiecksungleichung a1 + a2 > a und 2 · a² > 0 für endliches U nicht erfüllt werden kann.

Äste, Maße und Varianten

Beim allgemeinen Pythagoras-Baum liegen die Ecken der Quadrate des rechten und linken Astes jeweils auf einer logarithmischen Spirale. Der Endpunkt des rechten Astes hat den Abstand a zum Rasen und den Abstand (a1 / a2) · a = tan(α1) · a zum Stamm. Der Endpunkt des linken Astes hat ebenfalls den Abstand a zum Rasen und den Abstand (a2 / a1) · a = tan(α2) · a zum Stamm.

Für bestimmte Winkel nennt der Artikel konkrete Werte. Bei α1 = 45° ergeben sich Höhe 4 · a, Breite 6 · a und für den rechten sowie linken Teilbaum jeweils der Abstand a/4 zum Rasen. Bei α1 = 30° beträgt die Höhe ((17 + 3√3) / 5) · a ≈ 4,439 · a und die Breite ((81 + 108√3) / 40) · a ≈ 6,702 · a. Bei α1 = 22,5° beträgt die Höhe ((140 + 67√2) / 47) · a ≈ 4,995 · a und die Breite ((1439 + 1065√2) / 376) · a ≈ 7,833 · a. Bei α1 = 15° beträgt die Höhe ((11511 + 4795√3) / 3201) · a ≈ 6,191 · a und die Breite ((1087035 + 587320√3) / 204864) · a ≈ 10,272 · a.

Je größer die Differenz zwischen den Innenwinkeln α1 und α2 ist, desto größer werden Höhe und Breite. Gleichzeitig wird der Abstand des rechten Teilbaums zum Rasen größer und der Abstand des linken Teilbaums kleiner. Der Artikel nennt auch Varianten, die von der strengen Pythagoras-Konstruktion abweichen, etwa Bäume mit freiem Winkel, ohne Quadrate, ohne rechtwinklige Dreiecke oder mit zufälligen Stammlängen und Teilungsverhältnissen.

Geschichte und Programmierung

Der Pythagoras-Baum wurde 1942 erstmals von Albert E. Bosman (1891–1961) konstruiert, einem niederländischen Mathematiklehrer.

Der Baum lässt sich rekursiv programmieren. Rekursion bedeutet, dass eine Methode sich selbst wieder aufruft. Das im Artikel gezeigte C#-Beispiel zeichnet zunächst ein Quadrat und ein rechtwinkliges Dreieck. Danach ruft die Methode sich zweimal erneut auf: einmal für den linken Teilbaum und einmal für den rechten Teilbaum. Die Rekursion endet, wenn eine vorgegebene minimale Länge unterschritten wird.