Polarkoordinaten

Grundidee und eindeutige Darstellung

Polarkoordinaten beschreiben jeden Punkt einer Ebene durch seinen Abstand von einem festen Punkt und seinen Winkel zu einer festen Richtung. Der feste Punkt heißt Pol, der von ihm ausgehende Referenzstrahl Polarachse. Der Abstand wird meist mit r oder ρ bezeichnet und heißt Radius oder Radialkoordinate. Der Winkel heißt φ oder θ und wird auch Winkelkoordinate, Polarwinkel, Azimut oder Argument genannt. Das Koordinatenpaar lautet (r,φ).

Der Radius ist nichtnegativ. In Mathematik und Physik wird der Winkel standardmäßig im Bogenmaß (Radiant) und im Gegenuhrzeigersinn positiv gemessen; die Polarachse zeigt meist nach rechts. In der Geodäsie und Navigation wird das Azimut dagegen von der Nordrichtung aus im Uhrzeigersinn gemessen. Polarkoordinaten sind orthogonale Koordinaten und besonders geeignet, wenn Abstände und Richtungen die Lage eines Punktes einfacher beschreiben als kartesische x- und y-Koordinaten.

Für r ≠ 0 beschreiben φ und φ + 2πk mit k ∈ ℤ denselben Punkt. Zur Eindeutigkeit wird der Winkel deshalb meist auf eines der halboffenen Intervalle (−π,π] oder [0,2π) beschränkt. Für r = 0 ist der Winkel beliebig; häufig wird für eine eindeutige Transformationsvorschrift φ = 0 festgelegt.

Umrechnung und Winkelberechnung

Bei gleicher Orientierung und einer Polarachse entlang der positiven x-Achse gilt für die Umrechnung in kartesische Koordinaten:

• x = r cos φ
• y = r sin φ
• x + iy = r exp(iφ)

Umgekehrt wird der Radius mit dem Satz des Pythagoras berechnet: r = √(x² + y²). Für r ≠ 0 gelten cos φ = x/r, sin φ = y/r und tan φ = y/x. Diese Gleichungen bestimmen den Winkel allein nicht eindeutig, da sin, cos und tan auf den üblichen Gesamtintervallen nicht injektiv sind; tan φ ist außerdem für x = 0 nicht definiert. Daher muss der Quadrant anhand der Vorzeichen von x und y berücksichtigt werden.

Für den Bereich (−π,π] kann φ mit dem Arkustangens bestimmt werden:

• φ = arctan(y/x) für x > 0,
• φ = π + arctan(y/x) für x < 0, y ≥ 0,
• φ = −π + arctan(y/x) für x < 0, y < 0,
• φ = +π/2 für x = 0, y > 0,
• φ = −π/2 für x = 0, y < 0.

Die Funktion arctan2(x,y) übernimmt diese Fallunterscheidung in einigen Programmiersprachen und Anwendungsprogrammen. Alternativ gilt φ = arg(z) = Im(ln z) für z = x + iy. Mit dem Arkuskosinus genügt φ = +arccos(x/r) für y ≥ 0 und φ = −arccos(x/r) für y < 0. Eine weitere Form lautet φ = 2 arctan(y/(r+x)) für r+x ≠ 0 und φ = π für r+x = 0.

Für [0,2π) wird ein negatives Ergebnis aus (−π,π] um 2π vergrößert: φ′ = φ + 2π für φ < 0, sonst φ′ = φ. Direkt gilt unter anderem φ′ = arccos(x/r) für y ≥ 0 und φ′ = 2π − arccos(x/r) für y < 0. Allgemein verschiebt die Formel φ = ϕ − 2π · ⌊(ϕ − ϕ_min)/(2π)⌋ einen Winkel in das Intervall [ϕ_min, ϕ_min + 2π), wobei ϕ_min = 0 oder ϕ_min = −π gewählt werden kann.

Geometrie, Basis und Differentiale in der Ebene

Die Koordinatenlinien durch (r₀,φ₀) sind für r₀ ≠ 0 eine Halbgerade vom Pol in Richtung φ₀ und der Kreis mit Radius r₀ um den Pol. Der Ortsvektor lautet

r⃗ = (x,y)ᵀ = (r cos φ, r sin φ)ᵀ.

Durch Ableitung nach den Koordinaten erhält man die lokalen Basisvektoren b⃗₁ = (cos φ,sin φ)ᵀ und b⃗₂ = (−r sin φ,r cos φ)ᵀ. Ihre Längen sind 1 und r; außerdem gilt b⃗₁ · b⃗₂ = 0. Die Koordinatenlinien schneiden sich daher rechtwinklig. Die Einheitsvektoren sind e⃗_r = (cos φ,sin φ)ᵀ und e⃗_φ = (−sin φ,cos φ)ᵀ. Der metrische Tensor ist g = ((1,0),(0,r²)).

Die Jacobi-Determinante der Transformation x = r cos φ, y = r sin φ beträgt det J = r. Deshalb lautet das Flächenelement dA = r dr dφ; geometrisch besitzt das kleine Flächenstück die Breite r dφ und die Höhe dr. Das Linienelement ist ds² = dr² + r² dφ².

Für eine zeitabhängige Bewegung gilt r⃗ = r e⃗_r, ė⃗_r = φ̇ e⃗_φ und

• Geschwindigkeit: ṙ⃗ = ṙ e⃗_r + r φ̇ e⃗_φ,
• Beschleunigung: r̈⃗ = (r̈ − rφ̇²)e⃗_r + (2ṙφ̇ + rφ̈)e⃗_φ.

Dabei entstehen zusätzliche Terme, weil sich die lokalen Basisvektoren mit dem Winkel ändern.

Zylinderkoordinaten und Vektoranalysis

Zylinderkoordinaten erweitern ebene Polarkoordinaten um die Höhe z. Die Koordinate ρ misst den Abstand von der z-Achse. Bei gemeinsamer z-Achse und einer Polarachse in x-Richtung gilt:

x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z.

Für Punkte auf der z-Achse ist ρ = 0 und φ beliebig. Die Koordinatenlinien sind eine radiale Halbgerade, ein Kreis senkrecht zur z-Achse und eine zur z-Achse parallele Gerade. Die Koordinatenflächen sind bei konstantem ρ eine Zylinderfläche, bei konstantem φ eine Halbebene und bei konstantem z eine Ebene senkrecht zur z-Achse.

Der Ortsvektor ist r⃗ = ρ e⃗_ρ + z e⃗_z. Die Einheitsvektoren lauten e⃗_ρ = (cos φ,sin φ,0)ᵀ, e⃗_φ = (−sin φ,cos φ,0)ᵀ und e⃗_z = (0,0,1)ᵀ. Sie sind orthonormal und bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Der metrische Tensor ist g = ((1,0,0),(0,ρ²,0),(0,0,1)); die Funktionaldeterminante beträgt ρ und das Volumenelement ist dV = ρ dρ dφ dz.

Für ein Skalarfeld f und ein Vektorfeld A⃗ gelten:

• Gradient: ∇f = (∂f/∂ρ)e⃗_ρ + (1/ρ)(∂f/∂φ)e⃗_φ + (∂f/∂z)e⃗_z,
• Divergenz: ∇ · A⃗ = (1/ρ) ∂(ρA_ρ)/∂ρ + (1/ρ) ∂A_φ/∂φ + ∂A_z/∂z,
• Rotation: ∇ × A⃗ = ((1/ρ)∂A_z/∂φ − ∂A_φ/∂z)e⃗_ρ + (∂A_ρ/∂z − ∂A_z/∂ρ)e⃗_φ + (1/ρ)(∂(ρA_φ)/∂ρ − ∂A_ρ/∂φ)e⃗_z.

Für Bewegungen gilt ṙ⃗ = ρ̇e⃗_ρ + ρφ̇e⃗_φ + że⃗_z und r̈⃗ = (ρ̈ − ρφ̇²)e⃗_ρ + (2ρ̇φ̇ + ρφ̈)e⃗_φ + z̈e⃗_z.

Kegelkoordinaten und Transformationen

Kegelkoordinaten (γ,φ,χ) parametrisieren den Raum durch

P⃗(γ,φ,χ) = χ(γ cos φ, γ sin φ, 1)ᵀ.

Die Rücktransformation lautet Q⃗(x,y,z) = (γ,φ,χ)ᵀ = ((1/z)√(x²+y²), arctan2(x,y), z)ᵀ. Für ein Kegelsegment mit r₁ ≤ r ≤ r₂, 0 ≤ φ ≤ 2π und h = z₂ − z₁ gelten γ₁ = (r₂ − r₁)/h, χ₁ = h·r₁/(r₂−r₁) und χ₂ = h·r₂/(r₂−r₁). Das Volumen wird durch 0 ≤ γ ≤ γ₁, 0 ≤ φ ≤ 2π und χ₁ ≤ χ ≤ χ₂ beschrieben; die Mantelfläche liegt bei γ = γ₁.

Der Flächennormalenvektor der Mantelfläche ist n⃗ = (∂P⃗/∂φ) × (∂P⃗/∂χ) = χγ(cos φ,sin φ,−γ)ᵀ. Die Einheitsvektoren sind e⃗_γ = (cos φ,sin φ,0)ᵀ, e⃗_φ = (−sin φ,cos φ,0)ᵀ und e⃗_χ = (γ cos φ,γ sin φ,1)ᵀ/√(1+γ²). Sie bilden eine Normalbasis, aber keine Orthonormalbasis, weil nicht alle zueinander orthogonal sind.

Die Jacobi-Matrix der Transformation und ihre Determinante liefern dV = χ²γ dγ dχ dφ. Für die Mantelfläche gilt bei konstantem γ: dA = χγ√(1+γ²) dχ dφ. Die Transformationsmatrix S setzt die Einheitsvektoren als Spalten zusammen und transformiert Vektorfelder nach (F_x,F_y,F_z)ᵀ = S(F_γ,F_φ,F_χ)ᵀ. Die partiellen Ableitungen werden mit der inversen Jacobi-Matrix transformiert, zum Beispiel ∂/∂x = (cos φ/χ)∂/∂γ − (sin φ/(γχ))∂/∂φ und ∂/∂z = ∂/∂χ − (γ/χ)∂/∂γ.

Der Nabla-Operator, der Gradient, die Divergenz, der Laplace-Operator und die Rotation erhalten in Kegelkoordinaten entsprechende, aus diesen Transformationsmatrizen abgeleitete Formen. Insbesondere ist Δφ = div(grad φ) und enthält Terme mit ∂²φ/∂γ², ∂φ/∂γ, ∂²φ/∂φ², ∂²φ/∂χ² sowie dem gemischten Term −(2γ/χ)∂²φ/(∂γ∂χ).

Kugelkoordinaten und n-dimensionale Verallgemeinerung

Kugelkoordinaten erweitern ebene Polarkoordinaten um den Winkel θ ∈ [0,π]. θ ist der Winkel zwischen dem Ortsvektor r⃗ zum Punkt P und der z-Achse; θ = 0 genau dann, wenn P auf der z-Achse liegt.

Für n ≥ 3 lassen sich Polarkoordinaten in einem n-dimensionalen Raum mit kartesischen Koordinaten x_i ∈ ℝ für i = 1,…,n durch einen Radius r und weitere Winkel ϑ₁,…,ϑ_{n−2} aufbauen. Jeder neue Winkel liegt in [0,π] und beschreibt den Winkel zwischen dem Vektor x ∈ ℝⁿ und der jeweils neuen positiven Koordinatenachse. Die kartesischen Koordinaten lauten:

x₁ = r cos φ sin ϑ₁ sin ϑ₂ ··· sin ϑ_{n−2}, x₂ = r sin φ sin ϑ₁ sin ϑ₂ ··· sin ϑ_{n−2}, x₃ = r cos ϑ₁ sin ϑ₂ ··· sin ϑ_{n−2}, …, x_{n−1} = r cos ϑ_{n−3} sin ϑ_{n−2}, x_n = r cos ϑ_{n−2}.

Für n = 2 entstehen die gewöhnlichen Polarkoordinaten, für n = 3 die Kugelkoordinaten. Die Funktionaldeterminante ist

det ∂(x₁,…,x_n)/∂(r,ϑ₁,…,ϑ_{n−2},φ) = r^{n−1} sin ϑ₁ (sin ϑ₂)² ··· (sin ϑ_{n−2})^{n−2}.

Daraus folgt das n-dimensionale Volumenelement:

dV = r^{n−1} dr dφ ∏_{j=1}^{n−2}(sin ϑ_j)^j dϑ_j.

n-dimensionale Zylinderkoordinaten bestehen aus dem Produkt beziehungsweise der Zusammensetzung k-dimensionaler Kugelkoordinaten und (n−k)-dimensionaler kartesischer Koordinaten mit k ≥ 2 und n−k ≥ 1.