Einheitskugel

Definition und Bedeutung

Eine Einheitskugel ist in der Mathematik die Kugel mit Radius 1 um den Nullpunkt eines normierten Vektorraums. Der Abstand wird dabei durch eine Norm bestimmt. Deshalb muss die Einheitskugel je nach gewählter Norm nicht wie eine gewöhnliche Kugel aussehen.

Für einen normierten Vektorraum (X, ‖·‖) ist die offene Einheitskugel definiert als Bₓ := {x ∈ X : ‖x‖ < 1}.

Die abgeschlossene Einheitskugel lautet B̄ₓ := {x ∈ X : ‖x‖ ≤ 1},

die Einheitssphäre als Rand der Einheitskugel: ∂Bₓ := {x ∈ X : ‖x‖ = 1}.

Durch Verschiebung (Translation) und Streckung oder Stauchung (Skalierung) kann man beliebige Kugeln auf die Einheitskugel zurückführen. Daher genügt es häufig, eine Aussage für die Einheitskugel zu beweisen, um sie anschließend auf beliebige Kugeln zu übertragen.

Einheitskugeln in endlichdimensionalen Räumen

Im euklidischen Raum ℝⁿ wird die abgeschlossene Einheitskugel mit der euklidischen Norm ‖x‖₂ definiert:

‖x‖₂ = √(x₁² + x₂² + ⋯ + xₙ²),

B̄ℝⁿ := {x ∈ ℝⁿ : ‖x‖₂ ≤ 1}.

Die geometrische Gestalt hängt jedoch von der Norm ab. Zwei weitere wichtige Beispiele im ℝⁿ sind:

• Summennorm oder 1-Norm: ‖x‖₁ = |x₁| + |x₂| + ⋯ + |xₙ|.
• Maximumsnorm: ‖x‖∞ = max{|x₁|, |x₂|, …, |xₙ|}.

Nur bei der euklidischen Norm ist die Einheitskugel tatsächlich kugelförmig. Bei der Summennorm ist sie geometrisch ein Kreuzpolytop. Bei der Maximumsnorm ist sie ein Hyperwürfel mit Kantenlänge 2.

Volumen und Oberfläche

Für die n-dimensionale euklidische Einheitskugel Bⁿ := Bℝⁿ ⊂ ℝⁿ beträgt das Volumen

Vₙ = 2πⁿᐟ²/(nΓ(n/2)) = πⁿᐟ²/Γ(n/2 + 1).

Γ bezeichnet die Gammafunktion, eine analytische Fortsetzung der verschobenen Fakultät auf die reellen Zahlen. Für gerades n vereinfacht sich die Formel zu Vₙ = πⁿᐟ²/(n/2)!.

Die Oberfläche der Einheitskugel, die üblicherweise als Sphäre Sⁿ⁻¹ bezeichnet wird, ist

Aₙ = nVₙ = nπⁿᐟ²/Γ(1 + n/2) = 2πⁿᐟ²/Γ(n/2).

Für die Berechnung gelten die Rekursionen

Vₙ = (2π/n)Vₙ₋₂ für n > 1, Aₙ = (2π/(n − 2))Aₙ₋₂ für n > 2.

Für m = 1, 2, 3, … gilt außerdem:

V₂ₘ = πᵐ/m!, V₂ₘ₊₁ = 2ᵐ⁺¹πᵐ/(1 · 3 · 5 · ⋯ · (2m + 1)).

Das Volumen nimmt mit der Raumdimension zunächst bis n = 5 zu und fällt danach wieder ab. Für n → ∞ geht es gegen 0. Die Oberfläche nimmt zunächst bis n = 7 zu und geht ebenfalls für n → ∞ gegen 0.

Beispiele aus der Tabelle des Artikels:

• In Dimension 2: V₂ = π ≈ 3,141 und A₂ = 2π ≈ 6,283.
• In Dimension 3: V₃ = 4π/3 ≈ 4,189 und A₃ = 4π ≈ 12,57.
• In Dimension 5: V₅ = 8π²/15 ≈ 5,264 und A₅ = 8π²/3 ≈ 26,32.
• In Dimension 7: V₇ = 16π³/105 ≈ 4,725 und A₇ = 16π³/15 ≈ 33,07.
• In Dimension 20: V₂₀ = π¹⁰/3628800 ≈ 0,0258 und A₂₀ = π¹⁰/181440 ≈ 0,516.

Für die Summennorm beträgt das Volumen der Einheitskugel 2ⁿ/n!. Für die Maximumsnorm ist die Einheitskugel ein Hyperwürfel und hat das Volumen 2ⁿ.

Mathematische Eigenschaften

Die abgeschlossene Einheitskugel B̄ₓ ist konvex. Das bedeutet, dass mit je zwei Punkten der Menge auch die gesamte Verbindungsstrecke zwischen ihnen in der Menge liegt. Diese Eigenschaft folgt aus der Dreiecksungleichung der Norm.

Außerdem ist B̄ₓ punktsymmetrisch zum Ursprung 0:

x ∈ B̄ₓ ⇒ −x ∈ B̄ₓ.

In einem endlichdimensionalen Vektorraum kann umgekehrt jede abgeschlossene, konvexe und zum Ursprung punktsymmetrische Menge B, die den Ursprung im Inneren enthält, als Einheitskugel einer Norm dienen. Für x ≠ 0 wird diese Norm durch das Minkowski-Funktional definiert:

‖x‖ᴮ = min{t > 0 : x/t ∈ B}.

Die abgeschlossene Einheitskugel ist genau dann kompakt, wenn der Vektorraum X endlichdimensional ist. Kompaktheit bedeutet hier unter anderem, dass jede Folge in der Menge eine konvergente Teilfolge besitzt.

Sie ist genau dann schwach kompakt, wenn X reflexiv ist. Die abgeschlossene Einheitskugel im topologischen Dualraum X′ von X ist dagegen immer schwach-*-kompakt; dies ist eine Aussage des Satzes von Banach-Alaoglu.

Weitere Bedeutungen und Bemerkungen

Die Einheitssphäre bildet den Rand der Einheitskugel. Im zweidimensionalen Fall ist die Einheitskugel daher nicht der Kreis, sondern die Kreisscheibe; der Kreis ist nur ihr Rand.

Einheitskugeln lassen sich allgemeiner auch in metrischen Räumen definieren. Dort gibt es jedoch nicht von vornherein einen ausgezeichneten Nullpunkt, weshalb man nur eingeschränkt von der Einheitskugel eines metrischen Raumes spricht. Besonders bei Metriken, die nicht von einer Norm stammen, können die Einheitskugeln stark von der üblichen geometrischen Vorstellung abweichen.

Für einen Vektorraum X mit diskreter Metrik gilt konkret:

Bₓ = {0}, B̄ₓ = X, ∂Bₓ = X \ {0}.

Bei der Betrachtung von Umgebungen wird die Einheitskugel auch als 1-Kugel oder 1-Ball bezeichnet.

Anwendungen in Geowissenschaften und Astronomie

In den Geowissenschaften wird die Einheitskugel unter anderem für Berechnungen auf der Erdkugel verwendet. Bei einer Genauigkeit von etwa 0,1 % nutzt man Kugeldreiecke und die Formeln der sphärischen Trigonometrie, beispielsweise in Geografie, Kartografie, bei Globenberechnungen und in der Navigation. Die tatsächlichen Entfernungen erhält man aus den Kugelbögen durch Multiplikation mit dem Erdradius.

Für höhere Genauigkeit, vor allem in der Geodäsie, wird statt der Erdkugel das Erdellipsoid verwendet. Mit der Methode der Verebnung sind Dreiecksberechnungen jedoch auch sphärisch möglich.

Geologen verwenden für Richtungsanalysen von Gesteinsschichten oder Klüften eine Einheitskugel, die Lagenkugel. In sie werden die Normalenvektoren der jeweiligen Ebenen eingetragen. Anschließend werden die Daten in einer flächentreuen Azimutalprojektion dargestellt.

Auch astronomische Berechnungen werden auf der Einheitskugel um den Beobachter durchgeführt. Diese Himmelskugel entspricht dem freiäugigen Anblick des Himmelsgewölbes. Auf ihr definiert die sphärische Astronomie eigene Koordinatensysteme für Winkelmessungen und Sternörter. Ob der Kugelradius dabei mit 1 oder mit ∞ angenommen wird, ist ohne Bedeutung.