Spektrum (Operatortheorie)

Grundidee und Definition

Das Spektrum eines linearen Operators ist ein Grundbegriff der Funktionalanalysis. Es verallgemeinert die Eigenwerttheorie der endlichdimensionalen linearen Algebra. Die Spektralwerte kann man als verallgemeinerte Eigenwerte auffassen.

Für eine Matrix A sind λ ∈ ℂ genau dann Eigenwerte, wenn die Gleichung Ax = λx eine Lösung x ≠ 0 besitzt. Gleichwertig gilt ker(A − λI) ≠ {0}; im endlichdimensionalen Fall ist A − λI dann nicht invertierbar. In unendlichdimensionalen Räumen muss dagegen unterschieden werden, ob ein Operator injektiv, surjektiv oder bijektiv ist, da Injektivität nicht automatisch Surjektivität bedeutet.

Das Spektrum eines Operators T ist σ(T) = {λ : T − λ id ist nicht beschränkt-invertierbar}. Dabei bedeutet „nicht beschränkt-invertierbar“, dass keine Inverse existiert oder dass die inverse Abbildung nicht beschränkt ist. Die Elemente von σ(T) heißen Spektralwerte.

Für einen linearen Operator T auf einem komplexen Banachraum X besteht die Resolventenmenge ϱ(T) aus allen λ ∈ ℂ, für die ein beschränkter Operator Rλ auf X existiert mit Rλ(T − λ id) = (T − λ id)Rλ = id.

Rλ = (T − λ id)⁻¹ heißt Resolvente von T. Es gilt σ(T) = ℂ \ ϱ(T). Manche Darstellungen verwenden stattdessen Rλ = (λ id − T)⁻¹. Dadurch ändert sich nur das Vorzeichen der Resolvente; die Resolventenmenge bleibt gleich.

Einteilung des Spektrums

Auf Banachräumen wird das Spektrum nach dem Grund der fehlenden beschränkten Resolvente in Punktspektrum, stetiges Spektrum und Residualspektrum zerlegt:

• Punktspektrum σp(T): Ist T − λ id nicht injektiv, also ker(T − λ id) ≠ {0}, dann ist λ ein Element des Punktspektrums. Solche Spektralwerte heißen Eigenwerte.

• Stetiges Spektrum σc(T): Ist T − λ id injektiv, aber nicht surjektiv und besitzt ein dichtes Bild, dann gehört λ zum stetigen Spektrum. Die Inverse existiert nur auf einem dichten Teilraum von X.

• Residualspektrum σr(T): Ist T − λ id injektiv, besitzt aber kein dichtes Bild, dann liegt λ im Residualspektrum. Der Operator ist insbesondere nicht surjektiv; seine Inverse ist nur auf einem nicht dichten Teilraum definiert.

Bei einem Banachraum kann ein vierter Anteil, das Spektrum nicht beschränkter Resolventen σu(T), nicht auftreten. Ist T − λ id bijektiv, so ist seine Inverse nach dem Satz vom stetigen Inversen automatisch beschränkt. Deshalb gilt auf Banachräumen die disjunkte Zerlegung σ(T) = σp(T) ∪ σc(T) ∪ σr(T).

Auf nicht vollständigen normierten Räumen kann σu(T) dagegen nichtleer sein; dann lautet die vollständige disjunkte Zerlegung σ(T) = σp(T) ∪ σc(T) ∪ σr(T) ∪ σu(T).

Eine andere Einteilung unterscheidet das diskrete und das wesentliche Spektrum. Das diskrete Spektrum σdis(T) besteht aus allen isolierten Spektralwerten mit endlicher Vielfachheit. Das wesentliche Spektrum ist definiert durch σess(T) := σ(T) \ σdis(T). Für das wesentliche und diskrete Spektrum existieren allerdings auch andere, nicht äquivalente Definitionen.

Das approximative Punktspektrum σapp(T) enthält alle λ, für die es normierte Vektoren xn ∈ X gibt mit ‖xn‖ = 1 und ‖T xn − λ xn‖ → 0 für n → ∞. Solche λ heißen approximative Eigenwerte. Es gilt σp(T) ∪ σc(T) ⊆ σapp(T) ⊆ σ(T). Für beschränkte Operatoren gilt zusätzlich ∂σ(T) ⊆ σapp(T), wobei ∂σ(T) der Rand des Spektrums ist.

Typische Beispiele und kompakte Operatoren

Ein Multiplikationsoperator auf einem Funktionenraum F[0,1] ist definiert durch M : F[0,1] → F[0,1], (Mf)(t) = t f(t). Sein Spektrum ist in den folgenden Fällen stets das Intervall [0,1], aber die Zuordnung zu den Spektraltypen hängt vom zugrunde liegenden Raum ab:

• Auf B[0,1], dem Raum der beschränkten Funktionen mit Supremumsnorm, gehören alle Spektralwerte zum Punktspektrum.
• Auf L²[0,1], dem Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen, gehören alle Spektralwerte zum kontinuierlichen Spektrum.
• Auf C[0,1], dem Raum der stetigen Funktionen, gehören alle Spektralwerte zum Residualspektrum.

Für eine beschränkte komplexe Folge (an)n∈ℕ definiert T : ℓ² → ℓ², (ξn)n∈ℕ ↦ (anξn)n∈ℕ einen stetigen linearen Operator. Sein Spektrum ist der Abschluss der Menge seiner Folgenglieder: σ(T) = overline({an : n ∈ ℕ}). Daraus folgt insbesondere, dass jede kompakte Teilmenge von ℂ als Spektrum eines Operators auftreten kann: Man wählt darin eine dichte, abzählbare Teilmenge {an : n ∈ ℕ} und verwendet diesen Multiplikationsoperator.

Kompakte Operatoren bilden beschränkte Mengen eines Banachraums auf relativkompakte Mengen ab. Sie bilden eine Banachalgebra und ein normabgeschlossenes Ideal in der Algebra aller beschränkten Operatoren. Für einen kompakten Operator T auf einem unendlichdimensionalen Banachraum X gilt nach dem Resultat von Frigyes Riesz: 0 ist ein Spektralwert; jedes λ ∈ σ(T) \ {0} ist ein Eigenwert endlicher Vielfachheit, das heißt, ker(T − λ id) ist endlichdimensional; und σ(T) besitzt keinen von 0 verschiedenen Häufungspunkt.

Selbstadjungierte Operatoren und Spektraltypen

Selbstadjungierte Operatoren auf Hilberträumen modellieren in der Quantenmechanik Observablen, also messbare Größen. Ihre Spektralwerte sind mögliche Messwerte. Das Spektrum eines selbstadjungierten Operators liegt vollständig in ℝ. Ist T zusätzlich beschränkt, so gilt σ(T) ⊆ [−‖T‖, ‖T‖], und mindestens einer der beiden Randpunkte gehört zum Spektrum. Für λ ∈ ℂ \ ℝ gilt außerdem ‖(T − λ id)⁻¹‖ ≤ 1 / |Im λ|. Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Auf einem separablen Hilbertraum besitzt ein selbstadjungierter Operator daher höchstens abzählbar viele Eigenwerte. Sein Residualspektrum ist leer.

Zu einem selbstadjungierten, auch unbeschränkten Operator T in einem Hilbertraum H gehört eine Spektralschar {Eλ | λ ∈ ℝ} von Orthogonalprojektionen Eλ : H → H. Für x ∈ H ist λ ↦ ⟨Eλx|x⟩ die Verteilungsfunktion eines Maßes μx auf ℝ. Anhand dieser Maße werden Teilräume und daraus weitere Spektraltypen definiert:

• Der unstetige Teilraum Hp(T) besteht aus den x ∈ H, deren Maß μx außerhalb einer abzählbaren Menge A ⊂ ℝ gleich null ist. Es gilt σ(T|Hp(T)) = overline(σp(T)). Ist H = Hp(T), besitzt T ein reines Punktspektrum.
• Der stetige Teilraum Hc(T) besteht aus den x ∈ H mit μx({λ}) = 0 für jedes λ ∈ ℝ. Sein Spektrum σc(T) = σ(T|Hc(T)) heißt stetiges Spektrum im selbstadjungierten Sinn.
• Der singuläre Teilraum Hs(T) besteht aus den x ∈ H, deren Maß μx außerhalb einer Lebesgue-Nullmenge N ⊂ ℝ gleich null ist. Das Maß ist dann bezüglich des Lebesgue-Maßes singulär. Es gilt σs(T) = σ(T|Hs(T)).
• Der singulär stetige Teilraum ist Hsc(T) = Hs(T) ∩ Hc(T), mit σsc(T) = σ(T|Hsc(T)).
• Der absolutstetige Teilraum Hac(T) besteht aus den x ∈ H, für die μx(N) = 0 für jede Lebesgue-Nullmenge N gilt. Das Maß ist dann absolutstetig. Das zugehörige Spektrum ist σac(T) = σ(T|Hac(T)).

Gilt H = Hc(T), H = Hs(T), H = Hsc(T) oder H = Hac(T), spricht man entsprechend von rein stetigem, rein singulärem, rein singulär stetigem oder rein absolutstetigem Spektrum.

Die Teilräume erfüllen Hc(T) = Hp(T)⊥, Hac(T) = Hs(T)⊥, Hs(T) = Hp(T) ⊕ Hsc(T). Daraus folgen unter anderem σ(T) = overline(σp(T)) ∪ σsc(T) ∪ σac(T), σ(T) = overline(σp(T)) ∪ σc(T), σ(T) = σs(T) ∪ σac(T). Die Spektren σc(T), σs(T), σsc(T) und σac(T) sind abgeschlossen; das Punktspektrum ist dies im Allgemeinen nicht. Das stetige Spektrum selbstadjungierter Operatoren ist nicht mit dem zuvor definierten stetigen Spektrum allgemeiner Operatoren gleichzusetzen.

Banachalgebren und Anwendungen

Die Spektraltheorie kann auf Elemente einer Banachalgebra mit Einselement übertragen werden. In diesem abstrakten Rahmen muss die Inverse selbst wieder ein Element der Algebra sein; eine zusätzliche Forderung nach Beschränktheit ist nicht erforderlich. Beschränkte Operatoren und kompakte Operatoren liefern wichtige Beispiele für solche Operatoralgebren.

Für komplexe n × n-Matrizen ist eine Matrix A genau dann invertierbar, wenn es eine Matrix B mit A·B = B·A = I gibt. Dies ist gleichbedeutend mit det A ≠ 0. Daher ist z ∈ ℂ genau dann ein Spektralwert, wenn det(A − zI) = 0. Das sind genau die Eigenwerte der Matrix.

Die stetigen komplexwertigen Funktionen auf [0,1] bilden mit punktweiser Addition und Multiplikation eine Banachalgebra. Eine Funktion f ist genau dann invertierbar, wenn sie nirgends den Wert 0 annimmt; dann gilt punktweise f⁻¹(x) = 1/f(x). Deshalb ist z genau dann ein Spektralwert von f, wenn f − z den Wert 0 annimmt. Das Spektrum einer Funktion ist somit genau ihr Bild.

Das Spektrum σ(A) eines Elements A einer Banachalgebra mit Eins ist immer nichtleer und kompakt. Der Spektralradius ist r(A) = sup{|z| : z ∈ σ(A)}; er wird wegen der Kompaktheit angenommen. Für jedes A gilt außerdem limn→∞ ‖An‖¹⁄ⁿ = r(A). Der Spektralradius kann kleiner als die Norm sein. Für die Matrix A = ((0,1),(0,0)) ist beispielsweise r(A) = 0, obwohl ihre Norm, unabhängig von der gewählten Matrixnorm, nicht 0 ist.

In der Quantenmechanik ist besonders das Spektrum des Hamiltonoperators wichtig: Es gibt die möglichen Energiewerte an. Wegen der Selbstadjungiertheit sind die möglichen Messwerte reell. Je nach Spektraltyp werden Messwerte summiert oder integriert; der Übergang wird durch Σi fi → ∫ dλ f(λ) beschrieben. In seltenen Fällen tritt ein singulär-kontinuierlicher Anteil auf.

In der klassischen und statistischen Mechanik werden Observablen durch Funktionen auf dem Phasenraum dargestellt; ihre Spektralwerte sind einfach die möglichen Funktionswerte. In der algebraischen Quantentheorie sind Observablen Elemente von C*-Algebren, also speziellen Banachalgebren. Der Spektralkalkül ermöglicht die Berechnung möglicher Messwerte auch ohne konkrete Darstellung als Operatoren auf einem Hilbertraum. Zustände werden dort als lineare Funktionale auf der Algebra beschrieben; klassische Theorien entsprechen dem Fall einer abelschen C*-Algebra.