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Einheitsmatrix
Die Einheitsmatrix oder Identitätsmatrix ist in der Mathematik eine quadratische Matrix, deren Elemente auf der Hauptdiagonale eins und überall sonst null sind.
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Begriff und Definition
Die Einheitsmatrix, auch Identitätsmatrix genannt, ist eine quadratische Matrix. Auf ihrer Hauptdiagonale stehen ausschließlich Einsen, während alle übrigen Elemente null sind. Sie ist damit eine Diagonalmatrix, deren Diagonalelemente sämtlich 1 lauten.
Ist R ein Ring mit Nullelement 0 und Einselement 1, so heißt die Einheitsmatrix der Größe n × n Iₙ ∈ Rⁿˣⁿ und hat die Form Iₙ = diag(1, 1, …, 1). Übliche Schreibweisen sind Iₙ und Eₙ. Wenn die Dimension aus dem Zusammenhang hervorgeht, wird der Index häufig weggelassen: I beziehungsweise E.
Für die reellen Zahlen sind beispielsweise I₁ = (1), I₂ = [[1, 0], [0, 1]], I₃ = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] und I₄ = [[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]].
Elemente und zentrale Eigenschaften
Die Elemente lassen sich mit dem Kronecker-Delta δᵢⱼ beschreiben: δᵢⱼ = 1, falls i = j, und δᵢⱼ = 0, falls i ≠ j. Daher gilt Iₙ = (δᵢⱼ) für i, j ∈ {1, …, n}. Die Zeilen und Spalten bestehen aus den kanonischen Einheitsvektoren e₁, …, eₙ; als Spaltenvektoren schreibt man Iₙ = (e₁, …, eₙ).
Die wichtigste Eigenschaft ist die Neutralität bei der Matrizenmultiplikation. Für jede Matrix A ∈ Rᵐˣⁿ gilt Iₘ · A = A · Iₙ = A. Die Multiplikation mit der passenden Einheitsmatrix verändert A also nicht. Im Ring der quadratischen Matrizen (Rⁿˣⁿ, +, ·) ist Iₙ das Einselement, also das neutrale Element der Multiplikation. Dieser Matrizenring ist im Allgemeinen nichtkommutativ.
Die Einheitsmatrix ist symmetrisch und selbstinvers. Das bedeutet (Iₙ)ᵀ = Iₙ und (Iₙ)⁻¹ = Iₙ. Außerdem ist sie idempotent: Iₙ · Iₙ = Iₙ. Sie ist die einzige Matrix mit vollem Rang, die diese Idempotenz-Eigenschaft besitzt.
Für wichtige Kenngrößen gilt det(Iₙ) = 1 und spur(Iₙ) = n. Für R = ℤ, ℚ, ℝ oder ℂ lautet die Spur somit ebenfalls n. Das charakteristische Polynom ist χIₙ(λ) = (λ − 1)ⁿ. Der einzige Eigenwert ist daher λ = 1 mit der Vielfachheit n. Tatsächlich gilt Iₙ · x = 1 · x für alle x des Moduls Rⁿ. Ist R ein kommutativer Ring, so beträgt der Rang rang(Iₙ) = n.
Für eine reelle oder komplexe Einheitsmatrix ergibt sich aus der Idempotenz das Matrixexponential exp(Iₙ) = Σₖ₌₀^∞ (Iₙ)ᵏ/k! = Σₖ₌₀^∞ (1/k!) · Iₙ = e · Iₙ, wobei e die eulersche Zahl ist.
Bedeutung in der linearen Algebra
Die regulären Matrizen, also die invertierbaren quadratischen Matrizen, bilden mit der Matrizenmultiplikation die allgemeine lineare Gruppe. Für jede Matrix A dieser Gruppe gilt zusammen mit ihrer Inversen A⁻¹: A⁻¹ · A = A · A⁻¹ = Iₙ. Die Einheitsmatrix ist damit das Ergebnis der Multiplikation einer Matrix mit ihrer Umkehrmatrix.
Das Zentrum dieser Gruppe besteht genau aus den von null verschiedenen Vielfachen der Einheitsmatrix. Für eine orthogonale Matrix A ∈ ℝⁿˣⁿ gilt definitionsgemäß A · Aᵀ = Aᵀ · A = Iₙ. Für eine unitäre Matrix A ∈ ℂⁿˣⁿ gilt entsprechend A · Aᴴ = Aᴴ · A = Iₙ, wobei Aᴴ die konjugiert transponierte Matrix bezeichnet. Die orthogonalen beziehungsweise unitären Matrizen bilden Untergruppen der jeweiligen allgemeinen linearen Gruppe.
Die nullte Potenz jeder quadratischen Matrix A ∈ Rⁿˣⁿ wird durch A⁰ = Iₙ festgelegt. Außerdem wird die Einheitsmatrix zur Definition des charakteristischen Polynoms einer quadratischen Matrix verwendet: χA(λ) = det(A − λIₙ). In einem endlichdimensionalen Vektorraum V ist Iₙ die Darstellungsmatrix der Identitätsabbildung id: V → V, die jeden Vektor auf sich selbst abbildet.
Verwendung in Geometrie und Programmierung
In der analytischen Geometrie tritt die Einheitsmatrix in verschiedenen Abbildungsmatrizen T auf. Für eine Punktspiegelung am Koordinatenursprung gilt T = −I. Eine zentrische Streckung mit Streckungsfaktor m > 0 und dem Ursprung als Zentrum wird durch T = m · I beschrieben. Die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden mit Einheits-Richtungsvektor v hat die Matrix T = 2vvᵀ − I.
Für die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden in 2D oder einer Ursprungsebene in 3D mit Einheits-Normalenvektor n gilt T = I − 2nnᵀ. Ist P eine Projektionsmatrix auf eine Ursprungsebene oder -gerade, so beschreibt T = I − P die Projektion auf den Komplementärraum.
In MATLAB erzeugt eye(n) die Einheitsmatrix der Größe n × n. In Mathematica verwendet man dafür IdentityMatrix[n]. In der Python-Bibliothek numpy erzeugt numpy.identity(n) eine Einheitsmatrix. Allgemeiner kann numpy.eye(N, M, k) ein Diagonalarray mit Einsen erzeugen; dabei stehen N für die Zeilenanzahl, M für die Spaltenanzahl und k für die Position der Hauptdiagonalen.
