Dichte Teilmenge

Grundidee und Bedeutung

Eine dichte Teilmenge ist eine Teilmenge eines metrischen oder topologischen Raumes, mit deren Punkten sich jeder Punkt des gesamten Raumes beliebig genau annähern lässt. Der Begriff gehört zur Topologie, wird aber auch in der Analysis, Funktionalanalysis und Numerik verwendet, etwa bei der Approximation stetiger Funktionen durch Polynome.

Anschaulich bedeutet Dichtheit, dass es im betrachteten Raum keine noch so kleine Umgebung gibt, die von der Teilmenge vollständig verfehlt wird. Ein grundlegendes Beispiel ist \mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}: Jede reelle Zahl, auch jede irrationale Zahl, kann beliebig genau durch rationale Brüche beziehungsweise endliche Dezimalzahlen approximiert werden.

Dichtheit in metrischen Räumen

Ein metrischer Raum (X,d) ist eine Menge X mit einer Abstandsfunktion d. Ein normierter Raum (X,\|\cdot\|) ist dafür ein Beispiel; seine Metrik lautet d(x,y)=\|x-y\|.

Eine Teilmenge M\subseteq X heißt dicht in X, wenn eine der folgenden gleichbedeutenden Bedingungen erfüllt ist:

• Für alle x\in X und alle r>0 gibt es ein y\in M mit d(x,y)<r.
• Jede offene Kugel B_r(x) um einen beliebigen Punkt x mit beliebigem Radius r>0 enthält einen Punkt aus M.
• Zu jedem x\in X gibt es eine Folge (x_n)_{n\in\mathbb N} aus M, für die \lim_{n\to\infty}x_n=x gilt.
• Der Abschluss von M, also die kleinste abgeschlossene Menge, die M enthält, ist der gesamte Raum: \overline M=X.

Die Formulierung mit Folgen lässt sich nicht unverändert auf jeden allgemeinen topologischen Raum übertragen. Dort muss die Folgenkonvergenz gegebenenfalls durch Filterkonvergenz oder die Konvergenz von Netzen verallgemeinert werden.

Dichtheit in topologischen Räumen

Sei (X,\mathcal O) ein topologischer Raum, wobei \mathcal O das System der offenen Mengen bezeichnet. Eine Menge M\subseteq X ist genau dann dicht in X, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen gilt:

• Ihr Abschluss ist der gesamte Raum: \overline M=X.
• Sie schneidet jede nichtleere offene Menge: M\cap O\neq\emptyset für alle nichtleeren O\in\mathcal O.
• Jede Umgebung in X enthält mindestens einen Punkt aus M.

Eine Menge M heißt dicht in einer Teilmenge Y\subset X, wenn sie bezüglich der Teilraumtopologie \mathcal O_Y dicht ist. Zur Unterscheidung werden Mengen, die in der Obermenge X dicht sind, teilweise als überall dicht bezeichnet.

Wichtige Regeln sind:

• Inklusion: Ist A dicht in X und gilt A\subseteq B\subseteq X, dann ist auch B dicht in X.
• Transitivität: Ist X dicht in Y und Y dicht in Z, dann ist X dicht in Z.
• Stetige Abbildungen erhalten Dichtheit im Bild: Ist A dicht in X und f\colon X\to Y stetig, dann liegt f(A) dicht in f(X). Dabei erhält f(X) die Teilraumtopologie von Y.

Typische Beispiele und Gegenbeispiele

Sowohl die rationalen Zahlen \mathbb Q als auch die irrationalen Zahlen liegen dicht in \mathbb R. Zwischen beziehungsweise in beliebiger Nähe reeller Zahlen findet man daher Zahlen aus beiden Mengen.

Weitere wichtige Beispiele sind:

• Die Polynome liegen dicht in der Menge der stetigen Funktionen auf einem kompakten Intervall.
• Die Testfunktionen liegen dicht in der Menge der Lebesgue-integrierbaren Funktionen.
• Für jede Teilmenge M eines normierten Raumes liegt M dicht in ihrem Abschluss \overline M.
• Der Raum C_c^\infty(\mathbb R^n) der glatten Funktionen mit kompaktem Träger liegt dicht im Raum L^2(\mathbb R^n) der quadratintegrierbaren Funktionen.

Nicht jede Teilmenge ist dicht: \mathbb N liegt nicht dicht in \mathbb Q, sondern ist dort sogar nirgends dicht. Auch die Cantor-Menge ist trotz ihrer Überabzählbarkeit abgeschlossen und nirgends dicht in \mathbb R. Das Intervall [-1,1] ist nicht dicht in \mathbb R, aber nicht nirgends dicht: Es liegt dicht in [-1,1], einer Umgebung der Null.

Geordnete Mengen und dichte Räume

In einer streng totalgeordneten Menge (M,<) heißt eine Teilmenge S dicht, wenn für alle x,y\in M mit x<y ein z\in S existiert, sodass x<z<y gilt. Ist M selbst dicht geordnet, stimmt diese Eigenschaft mit der Dichtheit bezüglich der Ordnungstopologie überein.

Für eine partiell geordnete Menge (P,\leq), wie sie in der Forcing-Theorie verwendet wird, bilden die Mengen U_p:=\{q\in P\mid q\leq p\} für p\in P die Basis einer Topologie \tau_{\leq}. Eine Teilmenge D\subseteq P ist darin genau dann dicht, wenn zu jedem p\in P ein d\in D mit d\leq p existiert.

Der Ausdruck „dichter Raum“ besitzt eine besondere Bedeutung. Da stets \overline M=M gilt, wäre nach der gewöhnlichen Teilmengendefinition jeder Raum in sich dicht. Ein metrischer Raum (M,d) heißt deshalb dicht im Sinne der Metrik, wenn für jedes \varepsilon>0 und jedes x\in M ein anderer Punkt y\neq x mit d(x,y)<\varepsilon existiert. In der Nähe jedes Punktes liegen also weitere Punkte.

Entsprechend heißt ein topologischer Raum (X,\mathcal O) dicht, wenn jede Umgebung U jedes Punktes x\in X außer x noch mindestens einen weiteren Punkt enthält, also stets ein y\in U\setminus\{x\} existiert.

Verwandte Begriffe

Eine Teilmenge A eines topologischen Raumes heißt nirgends dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist:

\operatorname{Int}(\overline A)=\emptyset.

Eine Menge ist genau dann nirgends dicht, wenn sie in keiner nichtleeren offenen Menge dicht ist. „Nirgends dicht“ bedeutet jedoch nicht einfach „nicht dicht“ und bezeichnet auch nicht das Komplement einer dichten Menge. Eine dichte Menge kann nie nirgends dicht sein, weil sie mindestens in der offenen Menge X dicht ist. Unter den nicht dichten Mengen gibt es dagegen beide Möglichkeiten: \mathbb Z ist in \mathbb R nirgends dicht, während das Intervall [2,3] in \mathbb R nicht dicht, aber auch nicht nirgends dicht ist.

Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt. Diese Eigenschaft erleichtert häufig mathematische Beweise. Ein polnischer Raum erfüllt eine stärkere Bedingung: Er enthält eine abzählbare dichte Teilmenge und ist vollständig metrisierbar, das heißt, seine Topologie lässt sich durch eine vollständige Metrik beschreiben.