Verteilungsfunktion (Maßtheorie)

Begriff und Definition

Die Verteilungsfunktion eines Maßes beschreibt, wie viel Masse ein endliches Maß bis zu einer reellen Grenze x erfasst. Sie ist in der Maßtheorie wichtig, um Maße darzustellen und ihre Konvergenz zu untersuchen; Verteilungsfunktionen von Wahrscheinlichkeitsmaßen spielen außerdem eine zentrale Rolle in der Stochastik.

Auf dem Messraum (ℝ, 𝓑(ℝ)), wobei 𝓑(ℝ) die Borelsche σ-Algebra ist, sei μ ein endliches Maß. Seine Verteilungsfunktion ist

F_μ(x) := μ((−∞, x]).

Allgemeiner heißt jede monoton wachsende, rechtsseitig stetige und beschränkte reelle Funktion F eine Verteilungsfunktion. Sie definiert durch

μ_F((a,b]) := F(b) − F(a)

ein endliches Maß. Genau die Verteilungsfunktionen der Wahrscheinlichkeitstheorie erfüllen zusätzlich

lim_{x→−∞} F(x) = 0 und lim_{x→∞} F(x) = 1.

Beispiel mit dem Dirac-Maß

Das Dirac-Maß δ₁ konzentriert seine gesamte Masse auf die Zahl 1:

δ₁(A) = 1, falls 1 ∈ A, und δ₁(A) = 0, falls 1 ∉ A.

Daher ist seine Verteilungsfunktion eine Sprungfunktion:

F_{δ₁}(x) = 0 für x < 1 und F_{δ₁}(x) = 1 für x ≥ 1.

Der Sprung bei x = 1 zeigt, dass dort die gesamte Masse des Maßes liegt.

Zuordnung zwischen Maßen und Funktionen

Für monoton wachsende, rechtsseitig stetige und beschränkte Funktionen wird die Äquivalenzrelation

F ∼ G ⇔ F − G ist konstant

definiert. Bezeichnet [F] die dadurch entstehende Äquivalenzklasse, so ist die Zuordnung μ ↦ [F_μ] eine Bijektion: Jedem endlichen Maß auf ℝ entspricht eindeutig eine solche Klasse von Verteilungsfunktionen. Der konstante Unterschied spielt keine Rolle, weil bei μ_F((a,b]) = F(b) − F(a) Konstanten wegfallen. Deshalb wird häufig nicht streng zwischen einem Maß und seiner Verteilungsfunktion unterschieden.

Bei Verteilungsfunktionen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist keine Äquivalenzklassenbildung nötig. Die Grenzbedingungen 0 bei −∞ und 1 bei ∞ legen die Funktion eindeutig fest.

Mit

‖F_μ‖* := lim_{x→∞}(F_μ(x) − F_μ(−x))

gilt außerdem

‖F_μ‖* = ‖μ‖_{TV},

wobei ‖·‖_{TV} die Totalvariationsnorm bezeichnet.

Vage und schwache Konvergenz

Eine Folge (F_n)_{n∈ℕ} von Verteilungsfunktionen heißt vage konvergent gegen F, wenn sie an jedem Stetigkeitspunkt von F punktweise konvergiert:

lim_{n→∞} F_n(x) = F(x)

für alle x ∈ ℝ, an denen F stetig ist.

Sie heißt schwach konvergent gegen F, wenn sie vage konvergiert und zusätzlich

lim_{n→∞} ‖F_n‖* = ‖F‖*

gilt. Bei Verteilungsfunktionen von Wahrscheinlichkeitsmaßen ist diese Zusatzbedingung automatisch erfüllt, weil stets ‖F_n‖* = 1 gilt. In diesem Fall stimmen vage und schwache Konvergenz überein. Die schwache Konvergenz solcher Verteilungsfunktionen kann mit dem Lévy-Abstand metrisiert werden.

Die Begriffe werden in der Literatur nicht einheitlich verwendet. Teilweise wird zwischen vager und schwacher Konvergenz nicht unterschieden; teilweise heißt bereits die punktweise Konvergenz an allen Stetigkeitsstellen „schwache Konvergenz“. Für über reelle Zufallsvariablen definierte Verteilungsfunktionen der Wahrscheinlichkeitstheorie kommen auch die Bezeichnungen „konvergent in Verteilung“ und „stochastisch konvergent“ vor.

Zentrale Konvergenzsätze

Der Satz von Helly-Bray verbindet die Konvergenz von Verteilungsfunktionen mit der Konvergenz der zugehörigen Maße:

• Konvergiert (F_n)_{n∈ℕ} vage gegen F, dann konvergieren die zugehörigen Maße μ_n vage im maßtheoretischen Sinn gegen μ.

• Konvergiert (F_n)_{n∈ℕ} schwach gegen F, dann konvergieren μ_n schwach im maßtheoretischen Sinn gegen μ.

Durch eine Modifikation der Folgen von Verteilungsfunktionen mit einer Folge reeller Zahlen lässt sich auch die jeweilige Rückrichtung zeigen.

Nach dem Auswahlsatz von Helly besitzt jede gleichmäßig beschränkte Folge von Verteilungsfunktionen eine vage konvergente Teilfolge.

Der Satz von Prochorow charakterisiert straffe Familien von Verteilungsfunktionen. Für gleichmäßig beschränkte Familien gilt: Eine Familie ist genau dann straff, wenn jede Folge aus dieser Familie eine schwach konvergente Teilfolge besitzt.