Spektralzerlegung (Mathematik)

Grundidee und Definition

Die Spektralzerlegung stellt eine quadratische Matrix durch ihre Eigenwerte und Eigenvektoren dar. Sie trennt damit das Eigenwertspektrum von der geometrischen Information der Eigenvektoren. Eine solche Zerlegung existiert genau dann, wenn die Matrix diagonalisierbar ist.

Für eine n×n-Matrix M lautet die Spektralzerlegung M = λ₁P₁ + … + λₙPₙ. Dabei sind die λᵢ die paarweise verschiedenen Eigenwerte und die Pᵢ Projektoren, auch Eigendyaden oder Stützdyaden genannt. Sie erfüllen PᵢPⱼ = 0 für i ≠ j, Pᵢ² = Pᵢ und P₁ + … + Pₙ = E, wobei E die Einheitsmatrix ist. Außerdem gibt es Polynome fⱼ mit fⱼ(M) = Pⱼ.

Die Diagonalmatrix Λ = diag(λ₁, λ₂, …, λₙ) heißt Spektralmatrix und enthält das Spektrum von M. Häufig wird auch die Darstellung M = UΛU* mit einer unitären Matrix U und ihrer adjungierten Matrix U* als Spektralzerlegung bezeichnet.

Eigenwerte und Diagonalisierbarkeit

Das Eigenwertproblem einer Matrix M lautet M u = λu, u ≠ 0. Der Skalar λ heißt Eigenwert und jeder zugehörige Vektor u Eigenvektor. Jedes von null verschiedene Vielfache eines Eigenvektors ist ebenfalls Eigenvektor; häufig werden Eigenvektoren auf Länge eins normiert. Nichttriviale Lösungen existieren genau dann, wenn p(λ) := det(M − λE) = 0. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms p sind die Eigenwerte. Ihre Gesamtheit heißt Spektrum; der betragsmäßig größte Eigenwert bestimmt den Spektralradius.

Eine n×n-Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist, also eine reguläre Matrix S existiert, für die S⁻¹AS diagonal ist. Gleichwertig dazu besitzt sie n linear unabhängige Eigenvektoren beziehungsweise bei jedem Eigenwert stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit überein. Die algebraische Vielfachheit ist die Häufigkeit eines Eigenwerts als Nullstelle des charakteristischen Polynoms; die geometrische Vielfachheit ist die Dimension seines Eigenraums.

Über den komplexen Zahlen sind normale und hermitesche Matrizen diagonalisierbar. Jede reelle symmetrische Matrix ist ebenfalls diagonalisierbar. Eine normale Matrix kommutiert mit ihrer Transponierten beziehungsweise im komplexen Fall mit ihrer Adjungierten. Eine normale Dreiecksmatrix ist bereits eine Diagonalmatrix.

Für reelle symmetrische Matrizen gilt insbesondere: Alle Eigenwerte sind reell, zu jedem Eigenwert stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit überein, und es gibt eine Basis des ℝⁿ aus Eigenvektoren. Daher existiert eine orthogonale Matrix Q mit QᵀQ = E und Λ = QᵀMQ.

Orthogonale Eigenvektoren und Zerlegung

Bei einer reellen symmetrischen Matrix sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal: Aus Mu = λu und Mw = ηw folgt für λ ≠ η, dass uᵀw = 0. Bei einem k-fachen Eigenwert bilden die zugehörigen Eigenvektoren dagegen einen k-dimensionalen Eigenraum; innerhalb dieses Raums kann jede Orthonormalbasis verwendet werden.

Man kann deshalb n paarweise orthogonale Eigenvektoren u₁, …, uₙ wählen, auf Länge eins normieren und als Spalten in Q anordnen. Dann ist Q orthogonal und es gilt MQ = QΛ sowie Λ = QᵀMQ. Die Rücktransformation ergibt M = QΛQᵀ = Σⱼ λⱼuⱼuⱼᵀ = Σⱼ λⱼPⱼ mit Pⱼ = uⱼuⱼᵀ.

Die Eigendyade Pⱼ projiziert auf die Richtung des Eigenvektors uⱼ. Wegen der Orthonormalität gilt PᵢPⱼ = 0 für i ≠ j, Pᵢ² = Pᵢ und ΣᵢPᵢ = E. Damit erfüllt diese Darstellung genau die Bedingungen der Spektralzerlegung.

Wichtige Anwendungen

Ist kein Eigenwert von M gleich null, so ist det(M), das Produkt der Eigenwerte, ungleich null und M besitzt eine Inverse. Diese hat dieselben Eigenvektoren und die reziproken Eigenwerte: M⁻¹ = λ₁⁻¹P₁ + … + λₙ⁻¹Pₙ.

Für eine skalarwertige Funktion f wird der Funktionswert einer diagonalisierbaren Matrix durch f(M) := Σⱼ f(λⱼ)Pⱼ definiert. So folgt für f(x) = x⁰ unmittelbar M⁰ = ΣⱼPⱼ = E. Ist f mehrdeutig und hat k mögliche Werte, etwa bei einer Wurzel, bezeichnet f(M) insgesamt kⁿ mögliche Matrizen.

Auch Polynome lassen sich so effizient auswerten. Für p(M) = a₀E + a₁M + … + aₙMᴺ und f(x) = a₀x⁰ + a₁x¹ + … + aₙxᴺ gilt p(M) = f(M) = Σⱼf(λⱼ)Pⱼ. Matrixpotenzen werden dadurch auf Potenzen ihrer skalaren Eigenwerte zurückgeführt.

In der Modalanalyse beschreibt Mẍ + Kx = F beispielsweise ein ungedämpftes Masse-Feder-System. M ist die positiv definite Massenmatrix, K die Steifigkeitsmatrix, x der Verschiebungsvektor und ẍ seine zweite Zeitableitung. Eine Eigenschwingung der Form x = u sin(ωt) führt mit λ = ω² auf das verallgemeinerte Eigenwertproblem (K − λM)u = 0. Die Eigenfrequenzen sind besonders wichtig, weil das System bei dauerhafter Anregung an einer Resonanzfrequenz unter Umständen katastrophal reagieren kann.

Matrizenpaare und verallgemeinertes Eigenwertproblem

Für ein Matrizenpaar K;M lautet das verallgemeinerte Eigenwertproblem (K − λM)u = 0, u ≠ 0. Der Vektor u heißt Rechtseigenvektor. Ein Linkseigenvektor y erfüllt yᵀ(K − λM) = 0ᵀ. Die Eigenwerte sind die Nullstellen von det(K − λM) = 0. Ist die Leitmatrix M singulär, können weniger als n oder sogar keine Eigenwerte existieren; für die dargestellte Zerlegung wird deshalb eine reguläre Leitmatrix vorausgesetzt.

Links- und Rechtseigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind bezüglich K und M orthogonal. Für Eigenwerte λ ≠ η verschwinden die entsprechenden gemischten Produkte, etwa yᵀKw und yᵀMw. Komplexe Eigenwerte reeller Matrizenpaare treten zusammen mit ihren konjugiert komplexen Werten auf; auch die Eigenvektoren sind dann zueinander konjugiert komplex.

Werden die Rechtseigenvektoren spaltenweise in U und die Linkseigenvektoren zeilenweise in Y angeordnet, sind YKU und YMU bei verschiedenen Eigenwerten diagonal. Bei mehrfachen Eigenwerten entstehen zunächst Blockdiagonalmatrizen, deren Blockgrößen den Dimensionen der Eigenräume entsprechen. Stimmen algebraische und geometrische Vielfachheit bei jedem Eigenwert überein, können die Linkseigenvektoren so normiert werden, dass mit einer Linksmodalmatrix W WKU = Λ und WMU = E gilt. Das Matrizenpaar ist dann diagonalähnlich.

Mit den Eigendyaden Dⱼ := MuⱼwⱼᵀM erhält man die Spektralzerlegung des Paars: M = ΣⱼDⱼ, K = ΣⱼλⱼDⱼ. Dabei gilt DᵢM⁻¹Dⱼ = 0 für i ≠ j und DᵢM⁻¹Dᵢ = Dᵢ. Ein reelles Matrizenpaar ist insbesondere diagonalähnlich, wenn es n verschiedene Eigenwerte, n linear unabhängige Links- und Rechtseigenvektoren oder bei jedem Eigenwert einen Rangabfall gleich seiner algebraischen Vielfachheit besitzt.

Beispiel eines Matrizenpaars

Im Beispiel werden K = ((−2, 2, −3), (3, 3, −6), (2, 4, −15)) und M = ((1, 0, 0), (0, 1, −1), (1, 2, 0)) mit det(M) = 2 untersucht. Das charakteristische Polynom ist p(λ) = 90 + 42λ − 2λ² − 2λ³ = (3 + λ)²(5 − λ). Somit besitzt das Paar den doppelten Eigenwert λ₁ = −3 und den einfachen Eigenwert λ₂ = 5.

Für λ = −3 werden zwei unabhängige Rechts- und Linkseigenvektoren gefunden; für λ = 5 jeweils ein weiterer. Daraus entstehen die Modalmatrizen Y = ((−3, 1, 0), (−5, 0, 1), (−3, −6, 1)) und U = ((−2, 3, −1), (1, 0, −2), (0, 1, 1)). Das Produkt N = YMU ist wegen des doppelten Eigenwerts zunächst blockdiagonal: N = ((7, −10, 0), (10, −12, 0), (0, 0, 16)). Durch W = N⁻¹Y werden die Linkseigenvektoren normiert. Danach gelten WKU = diag(−3, −3, 5) und WMU = E. Die daraus berechneten drei Eigendyaden D₁, D₂ und D₃ liefern schließlich M = D₁ + D₂ + D₃ sowie K = −3D₁ − 3D₂ + 5D₃. Das Beispiel zeigt damit auch für einen mehrfachen Eigenwert die vollständige Spektralzerlegung eines diagonalähnlichen Matrizenpaars.