Diagonalisierbare Matrix

Begriff und Definition

Eine diagonalisierbare Matrix ist eine quadratische Matrix, die durch einen Basiswechsel in eine Diagonalmatrix überführt werden kann. Für eine Matrix A∈K^{n×n} bedeutet das: Es gibt eine reguläre, also invertierbare, Matrix S∈K^{n×n} und eine Diagonalmatrix D_A∈K^{n×n} mit

D_A=S^{-1}AS.

Die Matrizen A und D_A heißen ähnlich. Der Basiswechsel wird durch S beschrieben. Für einen Endomorphismus f eines endlichdimensionalen Vektorraums V bedeutet Diagonalisierbarkeit, dass es eine Basis B gibt, in der die Abbildungsmatrix M_B^B(f) diagonal ist. Diese Basis besteht aus Eigenvektoren von f.

Wichtige Kriterien und Eigenschaften

Für eine n-dimensionale Matrix A über einem Körper K sind mehrere Aussagen äquivalent zur Diagonalisierbarkeit:

• Das Minimalpolynom μ_A(λ) zerfällt vollständig in k≤n paarweise verschiedene Linearfaktoren: μ_A(λ)=±(λ−λ_1)·…·(λ−λ_k) mit λ_i∈K.
• Das charakteristische Polynom χ_A(λ) zerfällt vollständig in Linearfaktoren, und für jeden Eigenwert λ_i stimmen geometrische und algebraische Vielfachheit überein. Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums; die algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit des Eigenwerts im charakteristischen Polynom.
• Es gibt eine Basis von K^n, die aus Eigenvektoren von A besteht.
• Die Summe der Dimensionen aller Eigenräume ist n: Σ_{λ∈σ(A)} dim(E_λ(A))=n. Dabei bezeichnet σ(A) das Spektrum, also die Menge der Eigenwerte.
• K^n ist die direkte Summe der Eigenräume: K^n=⊕_{λ∈σ(A)}E_λ(A).

Ist K algebraisch abgeschlossen, ist außerdem äquivalent, dass alle Jordanblöcke der Jordanschen Normalform J_A die Dimension 1 haben.

Die Diagonaleinträge von D_A sind die Eigenwerte von A. Daher muss eine n-dimensionale diagonalisierbare Matrix n linear unabhängige Eigenvektoren besitzen. Diese Bedingung ist nicht nur notwendig, sondern auch hinreichend: Aus n solchen Eigenvektoren lassen sich S und D_A unmittelbar bilden.

Dass χ_A vollständig in Linearfaktoren zerfällt, ist allein nicht ausreichend. Die Matrix A=\begin{pmatrix}0&1\0&0\end{pmatrix} ist nicht diagonalisierbar, obwohl χ_A(X)=X^2 gilt. Umgekehrt ist das Zerfallen von χ_A in paarweise verschiedene Linearfaktoren hinreichend, aber nicht notwendig. Die Einheitsmatrix A=\begin{pmatrix}1&0\0&1\end{pmatrix} ist diagonalisierbar, obwohl χ_A(X)=(X−1)^2 gilt.

Für Potenzen gilt bei einer diagonalisierbaren Matrix die Darstellung A^n=S·D_A^n·S^{-1}. Die Potenz einer Diagonalmatrix wird berechnet, indem man jedes Diagonalelement potenziert.

Orthogonale und unitäre Diagonalisierbarkeit

Eine reelle Matrix A∈ℝ^{n×n} heißt orthogonal diagonalisierbar, wenn es eine orthogonale Matrix S gibt, sodass

S^{-1}AS=S^{\mathsf T}AS

eine Diagonalmatrix ist. Das ist genau dann der Fall, wenn A symmetrisch ist, also A=A^{\mathsf T}.

Eine komplexe Matrix A∈ℂ^{n×n} heißt unitär diagonalisierbar, wenn es eine unitäre Matrix S gibt, sodass

S^{-1}AS=S^{\mathsf H}AS

eine Diagonalmatrix ist. Dabei bezeichnet S^{\mathsf H} die adjungierte Matrix. Eine solche Diagonalisierung ist genau dann möglich, wenn A normal ist.

Für Endomorphismen in endlichdimensionalen euklidischen beziehungsweise unitären Vektorräumen bedeutet orthogonale beziehungsweise unitäre Diagonalisierbarkeit, dass eine Orthonormalbasis existiert, in der die Abbildungsmatrix diagonal ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn der Endomorphismus selbstadjungiert beziehungsweise normal ist.

Vorgehen bei der Diagonalisierung

Zur Diagonalisierung einer Matrix A werden eine Diagonalmatrix D_A und eine Basis aus Eigenvektoren bestimmt. Das Verfahren besteht im Wesentlichen aus folgenden Schritten:

• Zuerst bestimmt man die Eigenwerte λ_i als Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Einzelne Eigenwerte können mehrfach vorkommen.
• Für jeden Eigenwert berechnet man den Eigenraum E(λ_i)=Kern(λ_iI−A). Dazu löst man das homogene Gleichungssystem (A−λ_iI)·(e_1,…,e_n)^T=0.
• Für jeden Eigenwert wählt man eine Basis des zugehörigen Eigenraums. Ist die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit, liefern diese Basen insgesamt n linear unabhängige Eigenvektoren.
• Ordnet man die Eigenvektoren als Spalten in der Matrix S an, so lautet die Diagonalmatrix D_A=diag(λ_1,λ_2,…,λ_n) und es gilt D_A=S^{-1}AS beziehungsweise A=SD_AS^{-1}.

Das zentrale praktische Problem ist somit das Auffinden von n linear unabhängigen Eigenvektoren.

Beispiel einer orthogonalen Diagonalisierung

Betrachtet wird

A=\begin{pmatrix}1&0&1\0&2&0\1&0&1\end{pmatrix}∈ℝ^{3×3}.

Die Matrix ist symmetrisch und deshalb orthogonal diagonalisierbar. Ihr charakteristisches Polynom ist

χ_A(λ)=det(λE_3−A)=λ(λ−2)^2.

Die Eigenwerte sind λ_1=0 und λ_2=2. Der Eigenwert 2 besitzt die algebraische Vielfachheit 2.

Für λ=0 erhält man den Eigenraum

E(λ_1)=\left{\begin{pmatrix}α\0\−α\end{pmatrix}:α∈ℝ\right}=Lin\begin{pmatrix}1\0\−1\end{pmatrix}.

Für λ=2 ergibt sich

E(λ_2)=\left{\begin{pmatrix}α\β\α\end{pmatrix}:α,β∈ℝ\right}=Lin\left{\begin{pmatrix}1\0\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\1\0\end{pmatrix}\right}.

Eine Eigenvektorbasis ist daher v_1=(1,0,−1)^T, v_2=(1,0,1)^T, v_3=(0,1,0)^T.

Nach der Normierung erhält man die Orthonormalbasis b_1=\frac1{\sqrt2}(1,0,−1)^T, b_2=\frac1{\sqrt2}(1,0,1)^T, b_3=(0,1,0)^T.

Damit ist S=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1&0\0&0&\sqrt2\−1&1&0\end{pmatrix},

und wegen der Orthonormalbasis gilt S^{-1}=S^{\mathsf T}=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&0&−1\1&0&1\0&\sqrt2&0\end{pmatrix}.

Die Diagonalmatrix lautet D_A=diag(0,2,2)=\begin{pmatrix}0&0&0\0&2&0\0&0&2\end{pmatrix}.

Somit gilt D_A=S^{-1}AS und A=SD_AS^{-1}.

Simultane Diagonalisierung

Manchmal sollen zwei Matrizen A und B mit derselben regulären Matrix S diagonalisiert werden. Dann gilt

S^{-1}AS=D_1 und S^{-1}BS=D_2,

wobei D_1 und D_2 Diagonalmatrizen sind. Diagonalmatrizen kommutieren, also folgt daraus AB=BA. Die zugehörigen Endomorphismen müssen daher miteinander kommutieren.

Für zwei diagonalisierbare Endomorphismen gilt auch die Umkehrung: Kommutieren sie miteinander, können sie simultan diagonalisiert werden. Dann existiert eine Basis aus gemeinsamen Eigenvektoren. In der Quantenmechanik entspricht dies einer Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.