Adjungierte Matrix

Begriff und Definition

Die adjungierte Matrix, auch hermitesch transponierte oder transponiert-konjugierte Matrix, entsteht aus einer komplexen Matrix durch zwei Schritte: Zeilen und Spalten werden vertauscht (Transposition), und jeder Eintrag wird komplex konjugiert. Für A=(aᵢⱼ)∈ℂ^(m×n) ist die adjungierte Matrix Aᴴ∈ℂ^(n×m) definiert durch Aᴴ=\overline{A}ᵀ=\overline{Aᵀ}. Der Eintrag an Position (i,j) von A wird also nach komplexer Konjugation zum Eintrag an Position (j,i) von Aᴴ. Die Reihenfolge von Transposition und Konjugation spielt keine Rolle.

Anschaulich wird die Matrix an der Hauptdiagonale gespiegelt und anschließend werden alle Einträge konjugiert. Bei ausschließlich reellen Einträgen ist die Konjugation wirkungslos; dann gilt Aᴴ=Aᵀ. Für Skalarprodukte auf ℂ^m und ℂ^n, die durch positiv definite hermitesche Matrizen C beziehungsweise B gegeben sind, lautet die adjungierte Matrix zu A∈ℂ^(m×n): Aᴴ=B⁻¹AᵀC.

Notation und Beispiele

Üblich ist die Schreibweise Aᴴ. Weitere Schreibweisen sind adj(A), A*, A⁺ und A†; sie sind jedoch teilweise mehrdeutig: adj(A) kann auch die Adjunkte bezeichnen, A* gelegentlich die konjugierte Matrix und A⁺ die Pseudoinverse. A† wird besonders in der Physik und Quantenmechanik verwendet.

Bei einem Zeilenvektor werden durch die Adjungierung die konjugierten Einträge zu einem Spaltenvektor, zum Beispiel (i, 1+i, 2−i)ᴴ=(−i, 1−i, 2+i)ᵀ. Umgekehrt gilt (1, 2−2i, 3i)ᵀᴴ=(1, 2+2i, −3i).

Für eine 3×2-Matrix gilt beispielsweise: ( (1, 2−i), (3i, 4−2i), (5+i, −6i) )ᴴ = ( (1, −3i, 5−i), (2+i, 4+2i, 6i) ). Die Größe wechselt dabei von 3×2 zu 2×3.

Rechenregeln der Adjungierung

Die Adjungierung erhält Summen: (A+B)ᴴ=Aᴴ+Bᴴ; entsprechend gilt dies für jede endliche Summe gleich großer Matrizen. Bei der Multiplikation mit einem komplexen Skalar wird dieser konjugiert: (c·A)ᴴ=\bar c·Aᴴ.

Sie ist selbstinvers, also (Aᴴ)ᴴ=A. Für Produkte kehrt sich die Reihenfolge um: (A·B)ᴴ=Bᴴ·Aᴴ. Allgemein wird bei (A₁A₂…Aₖ)ᴴ die Reihenfolge zu Aₖᴴ…A₂ᴴA₁ᴴ. Deshalb ist die Adjungierung für quadratische Matrizen ein Antiisomorphismus beziehungsweise Antiautomorphismus: Sie verträgt sich mit der Multiplikation nur bei umgekehrter Reihenfolge.

Ist A regulär, dann ist auch Aᴴ regulär und (A⁻¹)ᴴ=(Aᴴ)⁻¹; diese Matrix wird gelegentlich A⁻ᴴ genannt. Außerdem gelten exp(Aᴴ)=(exp A)ᴴ und, für reguläre komplexe Matrizen, ln(Aᴴ)=(ln A)ᴴ.

Die Abbildung A↦Aᴴ von ℂ^(m×n) nach ℂ^(n×m) ist bijektiv, konjugiert linear und selbstinvers. Bei Blockmatrizen werden die Blöcke an der Hauptdiagonale gespiegelt und jeder einzelne Block adjungiert.

Kenngrößen und Skalarprodukte

Die Adjungierung verändert den Rang nicht: rang(Aᴴ)=rang(A). Das Bild von x↦Ax wird von den Spaltenvektoren von A aufgespannt, das Bild von x↦Aᴴx von den Zeilenvektoren von A; beide Bilder haben dieselbe Dimension.

Für quadratische Matrizen werden wichtige Kenngrößen komplex konjugiert: spur(Aᴴ)=\overline{spur(A)} und det(Aᴴ)=\overline{det(A)}. Daher sind auch die Eigenwerte von Aᴴ genau die komplex Konjugierten der Eigenwerte von A. Das charakteristische Polynom erfüllt χ_{Aᴴ}(λ)=\overline{χ_A(\bar λ)}.

Für Normen gilt |Aᴴ|F=|A|F und |Aᴴ|₂=|A|₂. Die Zeilensummen- und Spaltensummennorm werden vertauscht: |Aᴴ|∞=|A|₁ sowie |Aᴴ|₁=|A|∞. Die euklidische Norm eines komplexen Vektors ist |x|₂=√(xᴴx).

Die zentrale Verschiebungseigenschaft zum Standardskalarprodukt ⟨x,y⟩=xᴴy lautet ⟨Ax,y⟩=⟨x,Aᴴy⟩. Sie erklärt, warum Aᴴ die zu A passende adjungierte Matrix ist. Für das Frobenius-Skalarprodukt von Matrizen gilt ⟨A,B⟩_F=spur(AᴴB).

Verwendung bei Matrizen und Abbildungen

Die Adjungierte definiert wichtige Klassen quadratischer komplexer Matrizen: Hermitesche oder selbstadjungierte Matrizen erfüllen Aᴴ=A, schiefhermitesche Matrizen Aᴴ=−A. Eine unitäre Matrix erfüllt Aᴴ=A⁻¹, und eine normale Matrix erfüllt AᴴA=AAᴴ. Die Gram-Matrizen AᴴA und AAᴴ sind für jede komplexe Matrix hermitesch und positiv semidefinit. Eine komplexe Matrix hat genau dann nur reelle Einträge, wenn Aᴴ=Aᵀ gilt.

Sie erscheint außerdem in Matrixzerlegungen. Die Schur-Zerlegung hat die Form A=URUᴴ, wobei U unitär und R eine obere Dreiecksmatrix ist. Bei der Singulärwertzerlegung gilt A=UΣVᴴ; U und V sind unitär, Σ ist eine reelle Diagonalmatrix der Größe m×n.

Für endlichdimensionale komplexe Skalarprodukträume V und W ist die adjungierte Abbildung f*:W→V zu f:V→W durch ⟨f(v),w⟩=⟨v,f*(w)⟩ für alle v∈V und w∈W bestimmt. Bezüglich Orthonormalbasen ist ihre Abbildungsmatrix genau die Adjungierte der Abbildungsmatrix von f: A_{f*}=A_fᴴ. In der Funktionalanalysis wird dieses Konzept auf adjungierte Operatoren zwischen unendlichdimensionalen Hilberträumen erweitert.