Ohmsches Gesetz

Kernaussage und Bedeutung

Das ohmsche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen elektrischer Spannung U, Stromstärke I und elektrischem Widerstand R. Es gilt für ein Objekt, wenn die Stromstärke proportional zur angelegten Spannung ist. Gleichbedeutend damit ist, dass der als Quotient aus Spannung und Stromstärke definierte Widerstand konstant bleibt:

R = U/I = const.

Ein solches Objekt besitzt ein ohmsches Verhalten; sein konstanter Widerstand heißt ohmscher Widerstand. Das Gesetz gilt in der Realität nur in einem begrenzten Bereich und nur für bestimmte Stoffe, insbesondere für Metalle bei konstanter Temperatur. Deshalb wird es heute vor allem als Definition eines ohmschen Widerstands verstanden.

Das ohmsche Gesetz ist eine Grundlage für das Verständnis elektrischer Stromkreise. Zusammen mit den Eigenschaften anderer idealer Bauelemente ermöglicht es theoretische und mathematische Berechnungen sowie Schaltungssimulationen.

Formeln und Anwendung

Der elektrische Widerstand R eines Leiters ist als Verhältnis der anliegenden Spannung U zur hindurchfließenden Stromstärke I definiert. Bei zeitlich veränderlichen Größen müssen die jeweiligen Augenblickswerte eingesetzt werden. Für ohmsches Verhalten darf das Verhältnis U/I keine Zeitfunktion sein und weder von U noch von I abhängen.

Die Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen in drei gleichwertigen Schreibweisen dargestellt werden:

R = U/I U = R · I I = U/R

Das Akronym „URI“ dient als Merkhilfe für diese Größen und Schreibweisen. Daraus folgt beispielsweise: Bei konstantem Widerstand führt eine größere Spannung zu einer proportional größeren Stromstärke. Umgekehrt wird die Stromstärke bei gleicher Spannung kleiner, wenn der Widerstand größer wird.

Auch bei nicht-ohmschen Bauelementen bleibt der Widerstand grundsätzlich als R = U/I definiert. Er ist dann jedoch nicht konstant, sondern kann beispielsweise von der Spannung abhängen. Eine Glühlampe und eine Diode verhalten sich nichtlinear und sind daher typische nicht-ohmsche Bauelemente. Für kleine Änderungen lässt sich ihr Verhalten mit dem differentiellen Widerstand beschreiben. Dieser gibt den Zusammenhang zwischen einer kleinen Spannungsänderung ΔU und der zugehörigen Stromstärkeänderung ΔI an.

Mitunter wird bereits die Definition R = U/I als „ohmsches Gesetz“ bezeichnet. Die eigentliche Kernaussage des Gesetzes ist jedoch nicht die Bildung dieses Quotienten, sondern seine Konstanz.

Lokale Beschreibung in Materialien

Auf lokaler Ebene wird nicht der gesamte Leiter betrachtet, sondern der Zusammenhang zwischen der Stromdichte und dem elektrischen Feld an einzelnen Stellen. Die Stromdichte J beschreibt Stärke und Richtung des elektrischen Stroms pro Fläche; die elektrische Feldstärke E beschreibt Stärke und Richtung des elektrischen Feldes. Beide sind Vektorfelder.

Der Zusammenhang lautet:

J⃗ = σ⃗ E⃗

Genauer wird die elektrische Leitfähigkeit durch den Leitfähigkeits-Tensor σ beschrieben, sodass in Komponenten gilt:

Jₘ = σₘₙ Eₙ,

wobei die Indizes m und n von 1 bis 3 laufen und den Richtungen x, y und z entsprechen. Ein Tensor berücksichtigt, dass die Leitfähigkeit von der Raumrichtung abhängen kann. In isotropen Materialien, deren Eigenschaften in allen Richtungen gleich sind, genügt dagegen die skalare Leitfähigkeit σ:

J⃗ = σ E⃗.

Die annähernde Konstanz der Leitfähigkeit lässt sich anhand der Bewegung freier Elektronen erklären. Die Zähldichte n der Elektronen wird im Leiter als konstant angenommen. Für ihre mittlere Geschwindigkeit gilt:

v̄ = 10,6 · 10⁶ m/s.

Zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall legen die Elektronen während der typischen Zeit τₛ die mittlere Wegstrecke λ zurück:

λ = v̄ · τₛ.

Im elektrischen Feld werden sie mit

a = eE/mₑ

beschleunigt. Dabei sind e die Elementarladung und mₑ die Elektronenmasse. Daraus entsteht die Driftgeschwindigkeit v_d = aτₛ. Für die Leitfähigkeit folgt:

σ = J/E = n e v_d/E = n e a τₛ/E = n e²τₛ/mₑ = n e²λ/(mₑv̄).

Die Driftgeschwindigkeit ist ungefähr zehn Größenordnungen kleiner als die mittlere Geschwindigkeit v̄. Deshalb verändert das elektrische Feld die Geschwindigkeitsverteilung der Elektronen praktisch nicht. λ und τₛ und damit der gesamte Ausdruck für σ bleiben konstant. Dies erklärt innerhalb dieses Modells den linearen Zusammenhang zwischen Stromdichte und Feldstärke.

Ohms experimenteller Nachweis

Georg Simon Ohm suchte gezielt nach einem mathematischen Zusammenhang, mit dem sich die Stromstärke aus dem Material und den Abmessungen eines Drahtes bestimmen ließ. 1825 standen ihm jedoch keine ausreichend genauen Spannungs- und Strommessgeräte zur Verfügung. Auch damalige Spannungsquellen wie Voltasäulen, Daniell-Elemente und Trog-Batterien lieferten wegen chemischer Vorgänge, unter anderem wegen wechselnder Gasbläschenbildung an den Metallplatten, keine gleichbleibende elektrische Leistung.

Ohm verband deshalb mehrere bekannte Erkenntnisse und Geräte. Er nutzte die 1820 von Hans Christian Ørsted beschriebene magnetische Wirkung des Stroms und baute die coulombsche Drehwaage um: Ein kleiner Stabmagnet ersetzte den Probekörper, und die Waage wurde über einem stromdurchflossenen Draht aufgestellt. So konnte Ohm die Kraftwirkung verschiedener Drähte auf den Magneten messen. Seine 1825 veröffentlichten Messwerte ließen wegen der schwankenden Spannungsquellen noch keine allgemeingültige Formel zu, obwohl eine daraus abgeleitete Formel die Werte näherungsweise wiedergab.

Den entscheidenden Fortschritt brachte das von Thomas Johann Seebeck entdeckte Thermoelement. In Ohms Versuchsanordnung bestand es aus einem Wismutbügel mit Kupferstreifen. Ein Schenkel wurde mit siedendem Wasser erwärmt, der andere mit Eiswasser gekühlt. Die reproduzierbare Temperaturdifferenz von ungefähr 100 °C erzeugte eine beständige „erregende Kraft“, die nach heutiger Definition einer Leerlaufspannung von ungefähr 7,9 mV entsprach. Ohm führte diese Experimente im Januar 1826 durch.

Mit verschieden langen Drähten entwickelte er die Formel

X = a/(b + x).

Dabei bezeichnete X den elektrischen Strom, a die „erregende Kraft“, b den Leitungswiderstand der Drehwaage einschließlich der Spannungsquelle und x die Drahtlänge. Später verwendete Ohm anstelle von „erregender Kraft“ den Ausdruck „elektrische Spannung“. In heutiger Schreibweise entsprach sein Ergebnis der Gleichung

I = U/(Rᵢ + Rₐ),

wobei Rᵢ der Innenwiderstand der Spannungsquelle und Rₐ der Außenwiderstand der angeschlossenen Komponenten ist.

1827 veröffentlichte Ohm das Buch „Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet“. Ausgehend von einer Analogie zur Wärmeleitung leitete er die Abhängigkeit des Stroms von Leiterlänge, Leitungsquerschnitt und Material her. Er fasste Innen- und Außenwiderstände zur Größe L zusammen und schrieb:

S = A/L,

wobei S die „Größe des Stroms“, A die „Summe aller Spannungen“ und L die Summe der Widerstände bezeichnete. In heutiger Schreibweise ist dies I = U/R. Außerdem leitete Ohm die Zusammenhänge für Reihen- und Parallelschaltungen von Widerständen her. In Deutschland wurde sein Gesetz erst im Laufe der 1830er Jahre zögernd anerkannt; international wurde es nach einer erneuten Entdeckung im Jahr 1837 wahrgenommen.