Elektrische Kapazität

Grundbegriff und Bedeutung

Die elektrische Kapazität C ist eine physikalische Größe der Elektrostatik und Elektrotechnik. Sie beschreibt bei zwei elektrisch leitenden, voneinander isolierten Körpern, wie viel elektrische Ladung bei einer bestimmten Spannung getrennt gespeichert werden kann. Befinden sich auf den Leitern die Ladungen +Q und −Q und liegt zwischen ihnen die Spannung U, gilt:

C = Q/U.

Die Kapazität hängt von der Gestalt der Leiter, ihrem Abstand und der Dielektrizitätskonstante des isolierenden Mediums ab. Ein nahe liegender entgegengesetzt geladener Körper schwächt das abstoßende Feld des ersten Körpers. Deshalb ist weniger Spannung nötig, um weitere gleichnamige Ladung aufzubringen: Die Kapazität steigt.

Nicht zu verwechseln ist dies mit der bei Akkumulatoren und Batterien oft „Kapazität“ genannten maximal speicherbaren Ladungsmenge Q. Elektrische Ladung wird in Coulomb (C) angegeben; sie ist nicht die elektrische Kapazität.

Kondensator und Ladungsspeicherung

Ein elektrischer Kondensator ist eine Leiteranordnung mit zwei Elektroden, die die Ladungen +Q und −Q getrennt speichert. Eine externe Spannungsquelle transportiert die Ladungen auf die Elektroden. Für einen Kondensator gilt daher:

Q = C · U

und entsprechend C = Q/U. C ist dabei üblicherweise eine konstante Kenngröße des Bauteils. Umgangssprachlich wird „Kapazität“ manchmal auch als Bezeichnung für den Kondensator selbst verwendet.

Als Analogie kann ein Druckluftbehälter bei konstanter Temperatur dienen: Der Luftdruck entspricht der Spannung U, die Luftmenge der Ladungsmenge Q und das Behältervolumen der Kapazität. Daher wächst die Ladungsmenge im Kondensator proportional mit der Spannung.

Auch die Pseudokapazität folgt dieser Gesetzmäßigkeit innerhalb enger Spannungsgrenzen. Sie ist eine elektrochemische beziehungsweise faradaysche Energiespeicherung in Superkondensatoren, die mit Redoxreaktion und Ladungsaustausch an den Elektroden verbunden ist. Anders als bei Akkumulatoren tritt dabei an den Elektroden keine chemische Stoffänderung ein.

Einheiten

Die SI-Einheit der elektrischen Kapazität ist das Farad (F), benannt nach Michael Faraday. 1 Farad ist die Kapazität, die bei 1 Volt eine Ladungsmenge von 1 Coulomb speichert:

[C] = [Q]/[U] = 1 C/1 V = 1 As/1 V = 1 F.

Ein Kondensator mit 1 F erreicht bei einem konstanten Ladestrom von 1 A nach 1 s die Spannung 1 V.

Im früher häufig verwendeten Gaußschen CGS-System wird Kapazität in der Längeneinheit cm angegeben. Eine Metallkugel mit Radius 5 cm besitzt gegenüber einer im Unendlichen liegenden Gegenelektrode die Kapazität 5 cm. 1 cm im Gaußschen System entspricht etwa 1,11 pF im SI-System. Der Umrechnungsfaktor beträgt c² · 10⁻⁹ ≈ 9e¹¹, wobei c der Zahlenwert der Lichtgeschwindigkeit in cm/s ist. Ein Papierkondensator mit 5000 cm entspricht etwa 5,6 nF.

Geometrie und Permittivität

Für einfache Elektrodengeometrien gibt es analytische Formeln. Dabei ist ε = ε₀ εᵣ die Permittivität des Dielektrikums: ε₀ ist die elektrische Feldkonstante, εᵣ die stoffabhängige Permittivitätszahl; im Vakuum gilt εᵣ = 1.

Wichtige Beispiele sind:

• Plattenkondensator: C = ε · A/d. A ist die Elektrodenfläche, d ihr Abstand. Große Fläche und kleiner Abstand erhöhen C.
• Koaxialkabel oder Zylinderkondensator: C = 2π ε l / ln(R₂/R₁), mit Länge l und Radien R₁, R₂.
• Kugelkondensator: C = 4π ε / (1/R₁ − 1/R₂).
• Eine Kugel mit Gegenelektrode im Unendlichen: C = 4π ε R₁.
• Kreisscheibe gegen unendlich: C = 8 ε a, wobei a der Radius ist.

Für parallele Zylinder, einen Leiter über einer ebenen Fläche, zwei Kugeln oder ein langes Drahtstück werden Reihenentwicklungen verwendet. Das Landau-Symbol O bezeichnet dabei den Fehlerterm einer Approximation.

Berechnung und Messung

Für eine konstante Kapazität C und zeitabhängige Größen Strom i(t), Spannung u(t) und Ladung q(t) gelten:

i(t) = dq(t)/dt = C · du(t)/dt

u(t) = (1/C) · ∫ i(t) dt.

Allgemein kann die Kapazität mit dem Gaußschen Satz bestimmt werden:

C = Q/U = (∮A D⃗ · dA⃗)/(∫s E⃗ · ds⃗).

Die elektrische Verschiebung lautet D⃗ = ε₀ εᵣ E⃗. Im Vakuum mit εᵣ = 1 vereinfacht sich der Ausdruck entsprechend. Für die Berechnung muss das elektrische Feld bekannt sein. Dazu ist die Laplace-Gleichung ∇²φ = 0 mit konstantem Potential φ auf den Leiteroberflächen zu lösen; bei komplizierten Anordnungen gibt es keine geschlossene Lösung.

Kapazitätsmessungen kontrollieren Kondensatoren und werden etwa in kapazitiven Abstands-, Druck-, Feuchte- und Gassensoren genutzt. Mögliche Verfahren sind Laden mit konstantem Strom und Beobachten der Spannungsanstiegsgeschwindigkeit, die Messung der Resonanzfrequenz eines LC-Schwingkreises sowie das Anlegen einer Wechselspannung mit Messung des Stromverlaufs. Kapazitätsmessgeräte erfassen dabei besonders Stromgröße und Phasenlage zur Spannung; so lassen sich auch Impedanz sowie Verlustwinkel oder Gütefaktor bestimmen.

Messverfahren

Bei der Wechselspannungsmessung wird nicht nur festgestellt, wie groß der Strom ist, sondern auch, wie seine Phasenlage im Verhältnis zur Spannung ist. Dadurch kann ein Messgerät neben der Kapazität weitere Eigenschaften eines Kondensators erfassen: die elektrische Impedanz, den Verlustwinkel und den Gütefaktor.