Komplexe Wechselstromrechnung

Grundidee und Voraussetzungen

Die komplexe Wechselstromrechnung ist eine Methode der Elektrotechnik zur Beschreibung und Berechnung linearer zeitinvarianter Systeme bei sinusförmiger Wechselspannung und sinusförmigem Wechselstrom. Ihr zentraler Vorteil besteht darin, Netzwerk-Differentialgleichungen unter bestimmten Voraussetzungen in einfacher lösbare algebraische Gleichungen umzuwandeln. Dadurch wird die Berechnung von Wechselstromnetzwerken auf die bekannten Verfahren der Gleichstromnetzwerke zurückgeführt, allerdings nicht unbedingt auf deren Einfachheit.

Bei Gleichstrom wird das Verhältnis von Spannung und Stromstärke als Widerstand R = U/I beziehungsweise das Verhältnis I/U als Leitwert G bezeichnet. In Wechselstromkreisen treten als passive lineare Elemente insbesondere ohmsche Widerstände, Induktivitäten und Kapazitäten auf:

• Ohmscher Widerstand R: i = u/R.
• Induktivität L: di/dt = u/L beziehungsweise i·L = ∫u·dt.
• Kapazität C: du/dt = i/C beziehungsweise u·C = ∫i·dt.

Für sinusförmige Größen gilt beispielsweise i = î·sin(ωt + φᵢ) oder u = û·sin(ωt + φᵤ). Dabei sind û und î die Maximalwerte beziehungsweise Amplituden, ω = 2πf die Kreisfrequenz und φᵤ beziehungsweise φᵢ die Nullphasenwinkel. Die Differenz φᵤ − φᵢ heißt Phasenverschiebungswinkel. Die entstehende Größe ist ebenfalls sinusförmig und hat dieselbe Frequenz, kann sich aber in Phasenverschiebung und Amplitudenverhältnis ändern.

Voraussetzung ist, dass das System linear und zeitinvariant ist. Damit der Überlagerungssatz gilt, müssen die Bauelemente im betrachteten Frequenzbereich lineare Eigenschaften besitzen. Nicht anwendbar ist die Methode beispielsweise bei Spulen mit magnetischer Sättigung, bei Kondensatoren mit feldstärkeabhängiger Dielektrizitätszahl sowie bei stark nichtlinearen Baugruppen wie Modulatoren und Gleichrichtern. Halbleiterbauelemente können jedoch bei kleinen sinusförmigen Signalen in einem stetigen Kennlinienbereich linearisiert werden.

Berechnet wird nur der stationäre eingeschwungene Zustand. Einschaltvorgänge, Schaltvorgänge, Einzelimpulse und Impulsfolgen können allein mit dieser Methode nicht analysiert werden. Dafür existieren verallgemeinerte Verfahren wie Fourierreihen und die Laplace-Transformation. Die Aussagen gelten grundsätzlich auch für andere physikalische Größen, obwohl meist Spannung und Strom betrachtet werden.

Zeiger, komplexe Größen und Effektivwerte

Zeitlich veränderliche Augenblickswerte werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, etwa u oder i beziehungsweise ausdrücklich u(t). Komplexe Größen erhalten einen Unterstrich. Die imaginäre Einheit wird in der Elektrotechnik mit j bezeichnet, wobei j² = −1 gilt. So wird eine Verwechslung mit dem Formelzeichen i für die Stromstärke vermieden.

Eine Sinusschwingung lässt sich als rotierender Zeiger in der komplexen Ebene darstellen. Seine Länge entspricht der Amplitude, und sein Winkel ist der Phasenwinkel φ = ωt + φ₀. Der Zeiger dreht entgegen dem Uhrzeigersinn. Durch Projektion der Zeigerspitze auf die imaginäre Achse erhält man die Sinusfunktion, durch Projektion auf die reelle Achse die Kosinusfunktion.

Eine komplexe Spannung wird definiert als u̲ = û·(cos(ωt + φᵤ) + j·sin(ωt + φᵤ)) = û·e^{j(ωt + φᵤ)}.

Analog gilt für den Strom ī = î·e^{j(ωt + φᵢ)}.

Die reelle Spannung beziehungsweise Stromstärke erhält man je nach verwendeter Bezugsfunktion als Real- oder Imaginärteil. Für den Realteil gilt beispielsweise u = Re u̲ = (u̲ + u̲*)/2; für den Imaginärteil gilt u = Im u̲ = (u̲ − u̲*)/(2j). Dabei bezeichnet der Stern die konjugiert komplexe Größe.

Für die eigentliche Rechnung verwendet man meist zeitunabhängige komplexe Amplituden oder Phasoren:

• Komplexe Amplitude: Ũ = û·e^{jφᵤ} = û∠φᵤ und Ĩ = î·e^{jφᵢ} = î∠φᵢ.
• Komplexer Effektivwert: U̲ = (û/√2)·e^{jφᵤ} = U·e^{jφᵤ} = U∠φᵤ und I̲ = (î/√2)·e^{jφᵢ} = I·e^{jφᵢ} = I∠φᵢ.

Damit lauten die komplexen Momentanwerte u̲ = Ũ·e^{jωt} = √2·U̲·e^{jωt} und ī = Ĩ·e^{jωt} = √2·I̲·e^{jωt}. Amplitude beziehungsweise Effektivwert und Nullphasenwinkel werden so in einer zeitunabhängigen komplexen Konstante zusammengefasst.

Der Faktor jω wirkt bei der Differentiation wie ein Operator: d u̲(t)/dt = jω·u̲(t). Deshalb wird der Differentialoperator d/dt durch die Multiplikation mit jω ersetzt. Aus Differentialgleichungen entstehen dadurch algebraische Gleichungen. Der Überlagerungssatz erlaubt die Rechnung mit den komplexen Signalen; am Ende wird der Real- oder Imaginärteil gebildet. Dies gilt für Addition, Subtraktion, Multiplikation mit reellen Konstanten sowie Differentiation und Integration, nicht jedoch allgemein für Multiplikation oder Division von Signalen.

Impedanzen der Grundelemente

Das Verhältnis der komplexen Spannung zur komplexen Stromstärke ist bei jedem linearen Zweipol zeitunabhängig, weil sich der gemeinsame Faktor e^{jωt} herauskürzt. Es heißt komplexer Widerstand, Impedanz, Wechselstromwiderstand oder Widerstandsoperator Z̲:

Z̲ = u̲/i̲ = Ũ/Ĩ = U̲/I̲ = (û/î)·e^{j(φᵤ − φᵢ)}.

Die Impedanz wird in Wirkwiderstand beziehungsweise Resistanz R und Blindwiderstand beziehungsweise Reaktanz X zerlegt: Z̲ = R + jX.

Der Kehrwert ist der komplexe Leitwert, die Admittanz oder der Leitwertoperator Y̲: Y̲ = 1/Z̲ = i̲/u̲ = I̲/U̲ = G + jB.

Dabei heißen G Wirkleitwert beziehungsweise Konduktanz und B Blindleitwert beziehungsweise Suszeptanz.

Für die idealen Grundelemente gelten folgende Impedanzen und Phasenlagen:

• Ohmscher Widerstand: Z̲ᴿ = R. Spannung und Strom sind gleichphasig, also φᵤ − φᵢ = 0.
• Idealer Kondensator: Z̲ᶜ = 1/(jωC) = −j/(ωC) = jXᶜ. Der Blindwiderstand ist Xᶜ = −1/(ωC) = −1/(2πf·C). Die Spannung ist gegenüber dem Strom um −π/2 beziehungsweise −90° verschoben. Mit steigender Frequenz wird der Betrag des kapazitiven Blindwiderstands kleiner.
• Ideale Spule: Z̲ᴸ = jωL = jXᴸ. Der Blindwiderstand ist Xᴸ = ωL = 2πf·L. Die Spannung eilt dem Strom um π/2 beziehungsweise 90° voraus. Mit steigender Frequenz wird der induktive Blindwiderstand größer.

Kondensator und Spule liegen in der komplexen Ebene auf der imaginären Achse, jedoch in entgegengesetzten Richtungen. In einer Reihenschaltung aus Spule und Kondensator können sich ihre Blindwiderstände bei einem bestimmten ω > 0 zu null addieren. Dieser Zustand heißt Reihenresonanz im Schwingkreis.

Rechenverfahren und Zeigerdarstellung

Bei der symbolischen Methode wird das Schaltbild unmittelbar in eine komplexe Darstellung überführt:

• Alle stationären sinusförmigen Spannungen und Ströme werden durch komplexe Amplituden oder Effektivwerte ersetzt.
• Die Zweipolgleichungen der linearen Bauelemente werden durch Impedanzen oder Admittanzen ersetzt; vorhandene Differentialoperatoren werden durch jω ersetzt.
• Das algebraische Gleichungssystem des Netzwerks wird mit den Kirchhoff’schen Regeln, dem Ohm’schen Gesetz sowie den Regeln für Reihen- und Parallelschaltungen, Spannungs- und Stromteiler aufgestellt.
• Die gesuchten komplexen Amplituden oder Effektivwerte werden mit den Methoden für lineare Gleichungssysteme berechnet.
• Bei Bedarf erfolgt die Rücktransformation durch Multiplikation mit e^{jωt} beziehungsweise √2·e^{jωt} und anschließende Bildung des Real- oder Imaginärteils.

Die Regeln der Gleichstromtechnik gelten für komplexe Größen unverändert. Bei einer Reihenschaltung ist es zweckmäßig, den Strom vorzugeben, die Einzelspannungen zu berechnen und die Spannungszeiger zu addieren. Gleichwertig können zunächst die Impedanzen addiert und anschließend mit dem Strom multipliziert werden. Bei einer Parallelschaltung wird zweckmäßig die Spannung vorgegeben; die Einzelströme oder alternativ zunächst die Admittanzen werden addiert. Mischschaltungen werden in Teilschaltungen zerlegt und anschließend wieder zusammengesetzt.

Als Beispiel dient ein Tiefpass mit Generatorspannung U̲ᴳ, Generatorwiderstand Rᴳ, Spule L, Kondensator C und Lastwiderstand Rᴸ. Die Ausgangsspannung am Lastwiderstand lautet:

U̲ᴿᴸ = U̲ᴳ · [Rᴸ ∥ 1/(jωC)]/[Rᴳ + jωL + Rᴸ ∥ 1/(jωC)].

Mit 1/[Rᴸ ∥ 1/(jωC)] = 1/Rᴸ + jωC ergibt sich schließlich:

U̲ᴿᴸ = U̲ᴳ/[1 + Rᴳ/Rᴸ − ω²LC + jω(L/Rᴸ + RᴳC)].

Aus der Exponentialschreibweise lassen sich Amplitude und Phase des Frequenzgangs getrennt ablesen. Die klassische Lösung mit Differentialgleichungen führt zum gleichen Ergebnis, erfordert laut Artikel jedoch ein Mehrfaches an komplizierterem Rechenaufwand.

Beispiel, Leistung und Verallgemeinerungen

Bei einer RC-Reihenschaltung mit R = 150 Ω, C = 10 μF und ω = 500 s⁻¹ beträgt der kapazitive Blindwiderstand Xᶜ = −1/(ωC) = −1/(500 s⁻¹ · 10⁻⁵ F) = −200 Ω.

Die Gesamtimpedanz ist Z̲ = Z̲ᴿ + Z̲ᶜ = 150 Ω − j·200 Ω.

Ihr Betrag, der Scheinwiderstand, beträgt nach dem Satz des Pythagoras |Z̲| = √((150 Ω)² + (200 Ω)²) = 250 Ω.

Der Phasenverschiebungswinkel ist φ = arctan(−200 Ω/150 Ω) = −53,13°.

In Polardarstellung lautet die Impedanz daher Z̲ = 250 Ω·e^{−j53,13°} = 250 Ω∠−53,13°.

Für die Leistung wird die komplexe Spannung mit dem konjugiert komplexen Strom multipliziert. Die zeitabhängigen Faktoren heben sich auf. Die komplexe Leistung beziehungsweise komplexe Scheinleistung ist S̲ = U̲·I̲* = S·e^{j(φᵤ − φᵢ)} = P + jQ.

Darin enthalten sind:

• Scheinleistung: S = |S̲| = U·I.
• Wirkleistung: P = Re S̲ = U·I·cos(φᵤ − φᵢ).
• Verschiebungsblindleistung: Q = Im S̲ = U·I·sin(φᵤ − φᵢ).

Die komplexe Wechselstromrechnung wird unter anderem für Ortskurven, Resonanzkreise, Transformatoren, Zweitore, Filter, Strom- und Flussverdrängung, Übertragungsleitungen sowie die Ausbreitung elektromagnetischer Wellen verwendet.

Sie wurde außerdem verallgemeinert: Komplexe Fourierreihen ermöglichen die Anwendung von Impedanzfunktionen auf nichtsinusförmige periodische Signale. Die erweiterte symbolische Methode verwendet die komplexe Frequenz für exponentiell anschwellende und abklingende sinusförmige Signale und unterstützt die Untersuchung von Impedanzfunktionen in Pol-Nullstellen-Diagrammen. Für nichtperiodische Signale entstanden unter anderem die Operatorenrechnung nach Heaviside sowie Fourier- und Laplace-Transformationen. Die Impedanz- und Admittanzfunktionen der komplexen Wechselstromrechnung können in diesen Verallgemeinerungen nahezu unverändert weiterverwendet werden.