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Induktivität
Jeder elektrische Strom verursacht ein Magnetfeld (Elektromagnetismus), in dem magnetische Energie gespeichert ist. · Die Magnetfelder nahe beieinander liegender …
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Grundidee und Definition
Induktivität ist eine Eigenschaft elektrischer Stromkreise oder Bauelemente, besonders von Spulen. Sie beschreibt, wie stark eine Stromänderung mit einer Spannung zusammenhängt. Auf ihr beruht die elektromagnetische Induktion, also die Wechselwirkung zwischen elektrischem Strom und Magnetfeld.
Meist meint „Induktivität“ die Selbstinduktivität. Sie setzt die zeitliche Änderungsrate des Stroms i(t) mit der Spannung u(t) in Beziehung: u(t)=L·di(t)/dt. Das Formelzeichen ist L, die SI-Einheit ist das Henry (H). Eine Induktivität von 1 H liegt vor, wenn bei einer gleichförmigen Stromänderung von 1 Ampere je Sekunde eine Selbstinduktionsspannung von 1 Volt entsteht: 1 H = 1 V·s/A.
Bei einer Drahtschleife oder Spule erzeugt ein Strom nach dem Ampèreschen Gesetz ein Magnetfeld. Ändert sich dieses Magnetfeld, entsteht nach dem Induktionsgesetz im selben Stromkreis eine Spannung. Diese Spannung wirkt nach der Lenzschen Regel der ursprünglichen Stromänderung entgegen. Bei einer Spule mit N Windungen sind beide Effekte proportional zur Windungszahl; deshalb ist die Selbstinduktivität einer Spule proportional zu N².
Neben der Selbstinduktivität gibt es die Gegeninduktivität: Stromänderungen in einem Stromkreis m können Spannungen in einem nahe gelegenen Stromkreis n hervorrufen. Diese wechselseitige Induktion wird durch Koeffizienten L_mn = L_nm beschrieben. Selbst- und Gegeninduktivität sind wichtig für Transformatoren, Elektromotoren und elektronische Schaltungen.
Gültigkeit und mathematische Beschreibung
Die Gleichung u=L·di/dt gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen. Das Magnetfeld muss quasistatisch durch den Strom entstehen: Es darf keine relevanten Phasenunterschiede zwischen Strom und Magnetfeld und keine Abstrahlung elektromagnetischer Wellen geben; die Frequenzen müssen also hinreichend klein sein. Außerdem muss die Stromverteilung frequenzunabhängig sein. Bei kleinen Frequenzen ist die Stromdichte über den Leiterquerschnitt konstant, bei hohen Frequenzen kann wegen des vollständigen Skineffekts der Strom in der Leiteroberfläche fließen. Bei partiellem Skineffekt wird die Induktivität frequenzabhängig.
Auch magnetisierbare Materialien im Feldbereich müssen konstante Permeabilitätszahlen haben. Ist das nicht der Fall, spricht man von nichtlinearer Induktivität. Dann hängt L von der magnetischen Flussdichte B oder vom Strom ab, und bei hohen Flussdichten kann magnetische Sättigung auftreten.
In der Elektrotechnik wird die Induktivität einer Leiterschleife oft über den verketteten magnetischen Fluss Ψ definiert: L=Ψ/I. Umschließt eine Spule mit N Windungen denselben magnetischen Fluss Φ, gilt im Spezialfall L=N·Φ/I. Für nichtlineare Fälle ist die dynamische Induktivität wichtig: L_dyn=dΨ/dI. Sie beschreibt die Steigung der Ψ(I)-Kurve in einem Arbeitspunkt.
Aus dem Induktionsgesetz folgt für eine ruhende Schleife u_i=∮E_i·ds=−dΦ/dt. Umschlingt die Leiterschleife den Fluss N-fach, gilt näherungsweise u_i=−N·dΦ/dt. Wird die Klemmenspannung u des passiven Bauelements betrachtet, erhält man u=dΨ/dt=d(Li)/dt=L·di/dt+i·dL/dt. Wenn L zeitlich konstant ist, bleibt u=L·di/dt. Im Verbraucherzählpfeilsystem gilt u_L(t)=L·di_L(t)/dt, im Erzeugerzählpfeilsystem u_L(t)=−L·di_L(t)/dt.
Wechselstrom, Netzwerkmodell und Energie
In der Netzwerktheorie arbeitet man statt mit Feldgrößen wie dem magnetischen Fluss mit Spannungen, Strömen und Ersatzschaltbildern. Die Selbstinduktion kann als selbstinduzierte Quellenspannung modelliert werden, die der treibenden Spannung entgegenwirkt, oder als induktiver Spannungsabfall an einer Spule L. Der Ausdruck elektromotorische Kraft (EMK) wird historisch verwendet, kann aber missverständlich sein, weil es sich nicht um eine Kraft im physikalischen Sinn handelt.
Bei harmonischen Wechselgrößen wird die Ableitung nach der Zeit durch Multiplikation mit jω ersetzt. Aus u(t)=L·di(t)/dt wird U(jω)=jωL·I(jω). Daraus ergibt sich die komplexe Impedanz der Spule: Z=U/I=jωL. Die Kreisfrequenz ist ω=2πf, j ist die imaginäre Einheit. Wenn nur Beträge betrachtet werden, gilt für den induktiven Blindwiderstand X_L=ωL=2πf·L und für den Strom I=U/X_L. Diese einfachen Formeln gelten für lineare Induktivitäten mit konstanter Permeabilität, zum Beispiel näherungsweise für Luftspulen.
Induktive Bauelemente speichern Energie im Magnetfeld. Für eine Spule mit Induktivität L und Strom I lautet die Feldenergie W=1/2·L·I². Wird der Stromkreis plötzlich unterbrochen, muss diese Energie sehr schnell umgesetzt werden. Dadurch kann an den Anschlussklemmen eine sehr hohe Selbstinduktionsspannung entstehen, die Isolation oder Schaltungsteile beschädigen kann. Schutzmaßnahmen sind zum Beispiel Lastwiderstände, Schutzdioden, Varistoren oder Boucherot-Glieder. Umgekehrt kann die hohe Spannung bewusst genutzt werden, etwa bei Zündspulen.
Spulenformen und Berechnung
Induktivitäten einfacher Leiteranordnungen können teilweise analytisch bestimmt werden, besonders mit Methoden der magnetischen Feldberechnung wie dem Biot-Savart-Gesetz. Komplizierte Leiteranordnungen benötigen meist numerische Verfahren. Technisch wichtige Bauelemente mit definierter Induktivität heißen Spulen oder Drosseln.
Eine Ringspule oder Toroidspule besteht aus einem ringförmigen Kern mit mittlerem Radius r und Querschnittsfläche A, um den ein Leiter mit N Windungen gewickelt ist. Bei einem Kern mit relativer Permeabilitätszahl μ_r gilt näherungsweise L=N²·μ_0μ_rA/(2πr). Für rechteckigen Querschnitt mit Höhe h, Außenradius R und Innenradius r kann näherungsweise L=N²·(μ_0μ_rh/2π)·ln(R/r) verwendet werden. Gleichmäßig bewickelte Ringspulen haben den Vorteil, dass außerhalb der Wicklung nahezu kein Feld entsteht.
Für eine lange zylinderförmige Luftspule mit Länge l und Querschnittsfläche A gilt näherungsweise L=N²·μ_0A/l=N²/R_m. Für kürzere Spulen wird die endliche Länge berücksichtigt, zum Beispiel mit L=N²·μ_0A/(l+2r_w/2,2). Ist die Spule mit magnetisierbarem Material gefüllt, muss μ_r berücksichtigt werden; eine Näherungsformel lautet L=μ_0μ_rN²A/l.
In der Praxis geben Hersteller für Spulenkerne oft einen A_L-Wert an, meist in nH pro Quadratwindung. Er fasst Material und Geometrie näherungsweise zusammen und entspricht dem Kehrwert des magnetischen Widerstands R_m. Dann gilt L=A_L·N²=(1/R_m)·N², solange das Kernmaterial im linearen Bereich seiner Kennlinie bleibt und nicht in Sättigung gerät.
Innere, äußere und parasitäre Induktivität
Die äußere Induktivität stammt vom magnetischen Fluss außerhalb des Leiters. Bei idealisierten Berechnungen werden Leiter oft als sehr dünn angenommen; dann genügt meist die äußere Induktivität. Hat ein Leiter aber eine nicht vernachlässigbare Querschnittsfläche, gibt es auch magnetischen Fluss im Leiter selbst. Dieser Anteil heißt innere Induktivität. Für eine gleichmäßige Stromverteilung in einem Leiter der Länge l gilt im einfachsten Fall L_i=μ_0μ_rl/(8π). Dieser Ausdruck hängt nicht vom Durchmesser ab, gilt aber nur bei Gleichstrom und ohne innere Begrenzungen des Leiterquerschnitts. Durch den Skineffekt nimmt die innere Induktivität bei steigender Frequenz praktisch auf Null ab.
Bei einem Koaxialkabel setzt sich die Gesamtinduktivität aus der äußeren Induktivität im Raum zwischen den Leitern und den inneren Induktivitäten des Innen- und Außenleiters zusammen: L=L_a+L_ii+L_ia. Die äußere Induktivität lautet L_a=μ_0μ_rl/(2π)·ln(D/d). Ab etwa 10 kHz können die inneren Anteile wegen des Skineffekts oft vernachlässigt werden.
Induktivität kann auch störend sein. Jeder stromdurchflossene Leiter besitzt eine kleine Induktivität; auf Leiterplatten kann man überschlägig mit rund 1,2 nH pro Millimeter Leitungslänge rechnen. Diese parasitäre Aufbauinduktivität kann beim schnellen Schalten hohe Spannungen erzeugen: U_ind=L·di/dt. Schalterkontakte können Lichtbögen bilden, Halbleiterschalter können zerstört werden. Deshalb werden Strompfade eng geführt, Kabel verdrillt, Snubber-Netzwerke oder Freilaufdioden verwendet und bei integrierten Schaltungen induktionsarme Kondensatoren nahe an den Anschlüssen platziert.
Messung und besondere Fälle
Induktivität kann nicht direkt gemessen werden, sondern nur über ihre Wirkung. Eine Methode ist, eine bekannte Wechselspannung anzulegen und den Wechselstrom durch das induktive Bauelement zu messen, oder umgekehrt. Aus Reaktanz, Amplitude und Phasenlage lassen sich Induktivität, Güte sowie ein äquivalenter Serien- oder Parallelwiderstand bestimmen. Eine weitere Methode nutzt einen Schwingkreis: Schaltet man eine bekannte Kapazität parallel zur Induktivität und bestimmt die Resonanzfrequenz, kann man L berechnen. Für hohe Genauigkeit wird eine Maxwell-Messbrücke verwendet.
Bei realen Spulen muss man beachten, dass bei sehr hohen Frequenzen kapazitive Kopplungen zwischen Windungen und Lagen wirksam werden. Der Impedanzverlauf steigt dann zunächst bis zu einem Maximum, zeigt Schwingkreisverhalten und sinkt bei noch höheren Frequenzen wieder; die Spule verhält sich dann wie eine Kapazität.
Für die Berechnung allgemeiner Fälle sind Stromverteilung und Magnetfeld aus den Maxwellgleichungen zu bestimmen. Für zwei fadenförmige Leiterschleifen kann die wechselseitige Induktivität mit dem Neumann-Kurvenintegral berechnet werden. Bei der Selbstinduktivität einer Drahtschleife muss dagegen der endliche Drahtradius a und die Stromverteilung berücksichtigt werden, weil das direkte Integral divergiert. Die Konstante Y beschreibt dabei die Stromverteilung: Y=0 bei Strom in der Drahtoberfläche durch Skineffekt, Y=1/2 bei gleichförmiger Stromdichte im Drahtquerschnitt.
Für Leiterpaare aus zwei parallelen idealen Leitern beliebigen konstanten Querschnitts gilt bei hohen Frequenzen die Beziehung zwischen Induktivität pro Länge L′ und Kapazität pro Länge C′: L′C′=εμ. Dabei sind ε die dielektrische Permittivität und μ die magnetische Permeabilität des umgebenden Mediums.
