Elektrischer Widerstand

Grundbegriff und ohmscher Widerstand

Der elektrische Widerstand ist in der Elektrotechnik ein Maß dafür, welche elektrische Spannung nötig ist, um eine bestimmte elektrische Stromstärke durch einen Leiter, ein Bauelement oder einen Stromkreis fließen zu lassen. Dabei verwendet man Gleichgrößen oder bei zeitlich veränderlichen Größen die jeweiligen Augenblickswerte. Wird die Spannung von einem Anschlusspunkt A zu einem Anschlusspunkt B gezählt, dann wird die Stromstärke positiv gezählt, wenn sie von A nach B fließt; der Widerstand kann dabei nicht negativ sein. Das übliche Formelzeichen ist R. Die SI-Einheit ist Ohm mit dem Einheitenzeichen Ω.

Ein ohmscher Widerstand ist ein idealisierter Widerstand, dessen Wert unabhängig von Spannung, Stromstärke und anderen Parametern ist. An ihm gilt das ohmsche Gesetz: U = R · I. Trägt man die Spannung U über der Stromstärke I auf, entsteht bei einem ohmschen Widerstand eine Ursprungsgerade. Der Proportionalitätsfaktor R ist zugleich die Steigung dieser Geraden. Ein Bauelement, das näherungsweise so funktioniert, kann zum Beispiel ein Metalldraht sein und wird ebenfalls Widerstand genannt.

Fließt Strom durch einen Widerstand, entsteht ein Spannungsabfall, und elektrische Energie wird in thermische Energie umgewandelt. Der Kehrwert des Widerstands heißt elektrischer Leitwert G. Es gilt: G = 1/R.

Berechnung und Einflussgrößen

Der ohmsche Widerstand eines Körpers kann aus seiner Form und aus einer Materialkonstante berechnet werden. Diese Materialkonstante heißt spezifischer Widerstand ρ. Für einen geraden Leiter mit Länge l, konstanter Querschnittsfläche A und Stromfluss in Längsrichtung gilt: R = ρ · l/A. Der spezifische Widerstand ist im Allgemeinen von der Temperatur und manchmal von weiteren Größen abhängig.

In Tabellen wird oft die Bezugstemperatur tb = 20 °C verwendet. Dann gilt zum Beispiel R20 = ρ20 · l/A. Tabellenwerte für ρ und den Temperaturkoeffizienten sind nur Richtwerte, weil sie vom Reinheitsgrad sowie von thermischer und mechanischer Behandlung abhängen. Als Beispiele bei 20 °C nennt der Artikel: Silber mit ρ20 = 16e−3 Ω·mm²/m und α20 = 3,8e−3 1/°C, Kupfer mit 17e−3 Ω·mm²/m und 4,3e−3 1/°C, Nickel mit 70e−3 Ω·mm²/m und 6,6e−3 1/°C sowie Nickel-Chrom mit 13e−1 Ω·mm²/m und bis 1e−6 1/°C.

Der Temperatureinfluss lässt sich in einfachen Fällen linear beschreiben: R(t) = R(tb)(1 + αtb · Δt) mit Δt = t − tb. Für viele metallische Materialien und nicht zu große Temperaturbereiche reicht diese Näherung aus. Wird der Widerstand bei steigender Temperatur kleiner, spricht man von Heißleitern oder NTC. Wird er größer, spricht man von Kaltleitern oder PTC; Metalle sind generell Kaltleiter. Die Temperaturabhängigkeit wird in der Mess- und Regelungstechnik genutzt, etwa bei Widerstandsthermometern, Temperatursensoren, thermischen Anemometern und Einschaltstrombegrenzern.

Auch Spannung und Frequenz können Einfluss haben. Bei hohen Spannungen und hohen Widerstandswerten kann ein Spannungseinfluss in der Größenordnung (ΔR/R)/ΔU = −10−5 1/V auftreten, bei neuen Messwiderständen bis zwei Zehnerpotenzen weniger. Frequenzeinflüsse entstehen bei vielen Widerständen erst bei höheren Frequenzen durch den Skineffekt; bei dicken Leiterseilen von Hochspannungs-Freileitungen spielt er sogar bei 50 Hz eine Rolle.

Wechselstromwiderstand und Impedanz

Bei Wechselgrößen ändern sich Spannung und Stromstärke periodisch. Am ohmschen Widerstand gilt die Proportionalität zwischen Spannung und Stromstärke auch für die Augenblickswerte. Bei anderen Bauelementen ist der Zusammenhang zeitabhängig. Bei einem idealen Kondensator ist die Stromstärke wegen der Kapazität proportional zur Änderungsrate der Spannung; Energie wird im elektrischen Feld gespeichert und später zurückgespeist. Bei einer idealen Spule ist die Spannung wegen der Induktivität proportional zur Änderungsrate der Stromstärke.

Für sinusförmige Wechselgrößen mit Frequenz f oder Kreisfrequenz ω = 2πf kann eine Stromstärke i = î · sin(ωt + φi) eine sinusförmige Spannung u = û · sin(ωt + φu) gleicher Kreisfrequenz zur Folge haben. Zwischen beiden kann ein Phasenverschiebungswinkel φui = φu − φi auftreten. Nur beim ohmschen Widerstand ist dieser Winkel null. Das Verhältnis u/i ist bei nicht rein ohmschen Bauelementen zeitabhängig und zur Beschreibung ungeeignet. Stattdessen verwendet man den Scheinwiderstand Z = û/î = Ueff/Ieff.

Bei realen Bauelementen unterscheidet man Wirkwiderstand R und Blindwiderstand X. Der Wirkwiderstand kann Energie nach außen abgeben. Der Blindwiderstand entsteht durch Induktivität oder Kapazität und verursacht eine Phasenverschiebung. Wegen der unterschiedlichen Phasenlagen werden R und X nicht einfach arithmetisch addiert; es gilt Z² = R² + X².

Zur Berechnung nutzt man die komplexe Wechselstromrechnung. Dabei werden Spannung und Strom durch komplexe Zeiger dargestellt. Der komplexe Wechselstromwiderstand heißt Impedanz und wird definiert als Z̲ = u̲/i̲. Er kann geschrieben werden als Z̲ = R + jX oder als Z̲ = Z · e^(jφui), wobei j die imaginäre Einheit mit j² = −1 ist. Daraus folgen R = Z · cos φui, X = Z · sin φui, Z = √(R² + X²) und φui = arctan(X/R).

Induktiver und kapazitiver Blindwiderstand

Bei einer Spule mit der Induktivität L gilt u = L · di/dt. Bei Wechselstrom folgt die Stromstärke der Spannung verzögert. In komplexer Schreibweise ergibt sich u̲/i̲ = jωL = jX. Der induktive Blindwiderstand ist X = XL = ωL ≥ 0. Zusammen mit dem Faktor j bedeutet das eine Phasenverschiebung von φui = π/2 = +90°. Der Scheinwiderstand einer Induktivität ist proportional zur Frequenz.

Bei einem Kondensator mit der Kapazität C gilt u = (1/C)∫ i dt. Hier folgt die Spannung dem Strom verzögert. In komplexer Schreibweise ergibt sich u̲/i̲ = 1/(jωC) = −j · 1/(ωC) = jX. Der kapazitive Blindwiderstand ist X = XC = −1/(ωC) ≤ 0. Die Phasenverschiebung beträgt φui = −π/2 = −90°. Der Scheinwiderstand einer Kapazität ist umgekehrt proportional zur Frequenz.

Für Sonderfälle gilt: Ist R = 0 und X > 0, dann ist φui = +90° und Z̲ = jZ = jX. Ist R = 0 und X < 0, dann ist φui = −90° und Z̲ = −jZ = jX. Ist X = 0, dann ist φui = 0° und Z̲ = Z = R.

Tatsächliche Wechselstromwiderstände werden oft durch Reihen- oder Parallelschaltungen aus einem ohmschen Widerstand mit einer Induktivität oder einer Kapazität beschrieben. In genauer Betrachtung besitzt aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil und jede Spule einen kapazitiven Anteil. Selbst ein Draht muss exakt mit R, C und L beschrieben werden. Werden kapazitive und induktive Impedanzen mit geringer ohmscher Belastung zusammengeschaltet, kann ein Schwingkreis entstehen. Ortskurven stellen komplexe Größen als Zeiger in der komplexen Ebene dar und zeigen, wie sich deren Spitze bei Veränderung eines Parameters, etwa der Frequenz, bewegt.

Reihen- und Parallelschaltungen

Bei einer Reihenschaltung werden mehrere Widerstände hintereinander geschaltet. Für n ohmsche Widerstände addieren sich die Widerstände: Rrei = Σ(k=1 bis n) Rk = R1 + R2 + … + Rn. Anschaulich entspricht das bei gleichen Materialien und gleicher Querschnittsfläche einem längeren Leiter. Für zwei Teilstücke mit Längen l1 und l2 gilt: Rrei = ρ · (l1 + l2)/A = R1 + R2. Bei n gleichen Widerständen ist der Gesamtwiderstand Rrei = n · Rn. Der Widerstand einer Reihenschaltung ist stets größer als der größte Einzelwiderstand; eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderständen im Reihenschwingkreis.

Bei einer Parallelschaltung werden Widerstände nebeneinander geschaltet. Hier addieren sich die Leitwerte G beziehungsweise die Kehrwerte der Widerstände: Gpar = G1 + G2 + … + Gn und 1/Rpar = Σ(k=1 bis n) 1/Rk = 1/R1 + 1/R2 + … + 1/Rn. Anschaulich entspricht das bei gleichen Materialien und gleicher Länge einem Leiter mit größerer Querschnittsfläche. Für zwei parallele Widerstände gilt speziell: Rpar = (R1 · R2)/(R1 + R2). Für n gleiche Widerstände gilt: Rpar = (1/n)Rn. Der Widerstand einer Parallelschaltung ist stets kleiner als der kleinste Einzelwiderstand; eine Ausnahme gibt es bei Wechselstromwiderständen im Parallelschwingkreis.

Nichtlineare Kennlinien und Teilchenmodell

Bei nichtlinearen Strom-Spannungs-Kennlinien, zum Beispiel bei Dioden, ist der Quotient aus Spannung und Stromstärke für jedes Wertepaar unterschiedlich. Dann gilt das ohmsche Gesetz nicht, und man spricht nicht von einem linearen Widerstand R. Kleine Spannungsänderungen können aber näherungsweise proportional zu den zugehörigen kleinen Stromstärkeänderungen sein. Der Quotient daraus heißt differentieller Widerstand r: r = dU/dI. In einem Diagramm von U über I entspricht er der Steigung der Tangente an der betrachteten Stelle der Kennlinie.

Ein negativer differentieller Widerstand liegt vor, wenn die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt oder bei sinkender Spannung steigt. Er kann zur Entdämpfung von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden. Beispiele sind Gasentladungen, Avalanche- und Tunneldioden, einfache Schaltungen wie die Lambda-Diode sowie komplexere Module wie Schaltnetzteile auf der Eingangsseite. Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt die Stromstärke mit zunehmender Spannung zu. Die meisten Elemente der Schaltungstechnik besitzen ausschließlich einen positiven differentiellen Widerstand; Beispiele sind reale Widerstände, Dioden, Zener-Dioden und halbleitende Keramiken.

Im Teilchenmodell bewegen sich Valenzelektronen im Metall wie ein Elektronengas. Ohne äußere Spannung bewegen sie sich ungeordnet. Wird eine Spannung angelegt, beschleunigt das elektrische Feld die freien Elektronen, und es fließt Strom. Auf ihrem Weg stoßen Elektronen elastisch mit anderen Elektronen, Atomrümpfen und Phononen zusammen. Dabei geben sie Energie ab, werden gestreut und anschließend wieder beschleunigt. So entsteht eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit.

Die übertragene Energie erhöht die Eigenschwingung der Atomrümpfe beziehungsweise Phononen, also die Temperatur. Durch stärkere Schwingungen steigt die Zahl möglicher Stöße, wodurch bei Kaltleitern der Widerstand zunimmt. Bei Heißleitern erklärt dieses Modell den Leitungsvorgang nicht vollständig, weil mit steigender Temperatur zusätzliche Ladungsträger entstehen. Bei sehr hohen Temperaturen, in einem Plasma, sind Stoffe leitend, weil gebundene Elektronen für den Ladungstransport frei werden. Bei Supraleitern verschwindet der ohmsche Widerstand bei Gleichstrom unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur; Strom fließt dann ohne Verluste. Durch thermische Elektronenbewegung entsteht außerdem ein temperaturabhängiger Rauschstrom, das Widerstandsrauschen.

Der Hall-Widerstand beschreibt das Verhältnis von Spannung zu Stromstärke eines Hallelements bei bestimmter magnetischer Flussdichte, wobei die Spannung quer zur Stromdichte auftritt. Er charakterisiert das Hall-Element beziehungsweise die magnetische Flussdichte, hat aber nichts mit dem elektrischen Widerstand dieses Hall-Elements zu tun. Beim Quanten-Hall-Effekt tritt bei tiefen Temperaturen und starken Magnetfeldern eine stufenförmige statt lineare Spannung auf; dies führt zur Von-Klitzing-Konstante mit der Dimension Widerstand.