Parallelogrammgleichung

Grundidee in der Geometrie

Die Parallelogrammgleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Seiten und Diagonalen eines Parallelogramms. Haben die Seiten die Längen a und b und die Diagonalen die Längen e und f, dann gilt:

2(a²+b²)=e²+f².

Die Summe der Quadrate aller vier Seiten ist also gleich der Summe der Quadrate beider Diagonalen. Bei einem Rechteck sind beide Diagonalen gleich lang; die Gleichung liefert dann als Spezialfall den Satz des Pythagoras.

Begründungen und Verallgemeinerung

Die Gleichung lässt sich auf verschiedene Weisen beweisen. Mit dem Satz des Pythagoras zerlegt man das Parallelogramm in rechtwinklige Dreiecke. Mit dem Kosinussatz werden die Quadrate der beiden Diagonalen berechnet; beim Addieren heben sich die Terme mit cos β auf.

Mit Vektoren sind die Diagonalen e⃗=a⃗+b⃗ und f⃗=a⃗−b⃗. Aus dem Skalarprodukt folgt:

e²=a²+2a⃗·b⃗+b², f²=a²−2a⃗·b⃗+b².

Durch Addition ergibt sich e²+f²=2(a²+b²).

Für ein beliebiges ebenes Viereck gilt nach dem Satz von Euler:

a²+b²+c²+d²=e²+f²+4x²,

wobei x der Abstand der Mittelpunkte der Diagonalen ist. Beim Parallelogramm ist x=0, weil die Diagonalen denselben Mittelpunkt haben. Umgekehrt folgt aus der Parallelogrammgleichung x=0; dann halbieren sich die Diagonalen gegenseitig und das Viereck ist ein Parallelogramm. Der Artikel kennzeichnet diese Verallgemeinerung als nicht hinreichend belegt.

Form für komplexe Zahlen

Für zwei komplexe Zahlen z und w lautet die Parallelogrammgleichung:

2(|z|²+|w|²)=|z+w|²+|z−w|².

In der Gauß’schen Zahlenebene können z und w als Seitenvektoren eines Parallelogramms aufgefasst werden; z+w und z−w sind dann die Diagonalen. Rechnerisch verwendet man |z|²=z z̄. Beim Ausmultiplizieren von |z+w|² und |z−w|² treten gemischte Terme mit entgegengesetzten Vorzeichen auf und heben sich beim Addieren auf.

Form für Vektorräume und Umkehrung

In einem Vektorraum mit Skalarprodukt gilt für alle Vektoren x und y:

||x+y||²+||x−y||²=2(||x||²+||y||²).

Dabei ist ||x||=√⟨x,x⟩ die vom Skalarprodukt ⟨x,x⟩ erzeugte Norm; bei einem positiv semidefiniten inneren Produkt handelt es sich entsprechend um eine Halbnorm. Der Beweis beruht auf der Linearität des Innenprodukts: Beim Ausmultiplizieren der beiden Innenprodukte heben sich die Kreuzterme ⟨x,y⟩ und ⟨y,x⟩ auf.

Die Umkehrung ist der Satz von Jordan-von Neumann: Gilt die Parallelogrammgleichung in einem normierten Vektorraum (V,||·||), dann wird die Norm durch ein Skalarprodukt erzeugt, also ||x||=√⟨x,x⟩. Im reellen Fall kann dieses Skalarprodukt durch die Polarisationsformel

⟨x,y⟩=1/4(||x+y||²−||x−y||²)

definiert werden. Im komplexen Fall gilt:

⟨x,y⟩=1/4(||x+y||²−||x−y||²)+i/4(||x+iy||²−||x−iy||²).