Sinus lemniscatus und Cosinus lemniscatus

Grundidee und Definition

Der lemniskatische Sinus sl und der lemniskatische Kosinus cl sind von Carl Friedrich Gauß eingeführte spezielle Funktionen. Für die Lemniskate von Bernoulli erfüllen sie eine ähnliche Aufgabe wie Sinus und Kosinus für den Kreis: Sie verknüpfen die Bogenlänge mit dem Abstand eines Punktes vom Ursprung. Die lemniskatische Konstante ist

varpi = 2∫₀¹ dρ/√(1−ρ⁴) ≈ 2,62205 75542 92119 81046 48395 89891… .

Für reelle Argumente ist sl die Umkehrfunktion des elliptischen Integrals z = ∫₀^(sl z) dt/√(1−t⁴). Entsprechend gilt z = ∫_(cl z)¹ dt/√(1−t⁴), und cl z = sl(varpi/2−z). Eine gleichwertige Definition ist das Anfangswertproblem:

sl′(z) = (1+sl²z)cl z, cl′(z) = −(1+cl²z)sl z, sl(0)=0, cl(0)=1.

Die Funktionen lassen sich als meromorphe Funktionen, also komplexe Funktionen mit nur isolierten Polen, auf die komplexe Ebene fortsetzen. Auch eine Definition als Schwarz-Christoffel-Transformation von der Einheitskreisscheibe auf ein Quadrat mit den Ecken varpi/2, i varpi/2, −varpi/2 und −i varpi/2 ist möglich.

Bezug zur Lemniskate und zu elliptischen Funktionen

Gauß untersuchte 1796 die Umkehrung der Bogenlängenfunktion einer Lemniskate. Für einen Punkt im ersten oder dritten Quadranten mit Abstand r vom Ursprung gilt

x(r)=r√(1+r²)/√2, y(r)=r√(1−r²)/√2.

Aus der Kurvenlänge folgt s(r)=∫₀ʳ dρ/√(1−ρ⁴); daher schrieb Gauß r=sl s. Der Vergleich mit den Kreisfunktionen lautet: sin ist die Umkehrfunktion von ∫₀ʳ dρ/√(1−ρ²), und 2∫₀¹ dρ/√(1−ρ²)=π.

Im Gegensatz zum gewöhnlichen Sinus besitzen sl und cl in der komplexen Ebene zwei Perioden. Insbesondere gilt sl(z+2varpi)=sl(z), sl(z+2i varpi)=sl(z) sowie dieselben Gleichungen für cl. Damit sind sie elliptische Funktionen, also doppelt periodische meromorphe Funktionen. Sie lassen sich durch Jacobische elliptische Funktionen darstellen:

sl(s)=sd(√2 s;1/√2)/√2, cl(s)=cn(√2 s;1/√2).

Über Thetafunktionen gilt außerdem

sl(s)=ϑ₁₀(π/2−πs/varpi;e^(−π))/ϑ₀₁(π/2−πs/varpi;e^(−π)), cl(s)=ϑ₁₀(πs/varpi;e^(−π))/ϑ₀₁(πs/varpi;e^(−π)).

Perioden, Symmetrien und besondere Stellen

cl ist gerade und sl ist ungerade: cl(−z)=cl z und sl(−z)=−sl z. Verschiebungen um varpi/2 vertauschen die Funktionen, zum Beispiel cl(z±varpi/2)=∓sl z und sl(z±varpi/2)=±cl z. Bei Verschiebung um varpi oder i varpi wechseln beide ihr Vorzeichen.

Als minimale Perioden bezüglich ihres Absolutbetrags können (1+i)varpi und (1−i)varpi verwendet werden. Allgemein bleiben die Funktionswerte bei einer Verschiebung um (a+bi)varpi unverändert, wenn a+b=2k für ganze a, b und k. Das Periodengitter ist daher quadratisch und diagonal ausgerichtet.

Für Konjugation und Vierteldrehung gilt cl(z̄)=überline{cl z}, sl(z̄)=überline{sl z}, cl(iz)=1/cl z und sl(iz)=i sl z.

sl besitzt einfache Nullstellen bei a varpi+b varpi i und einfache Pole bei (a+1/2)varpi+(b+1/2)varpi i, jeweils mit ganzen a,b; die Pole haben Residuum (−1)^(a−b+1)i. Für cl liegen die Nullstellen bei (a+1/2)varpi+b varpi i und die Pole bei a varpi+(b+1/2)varpi i; deren Residuen sind (−1)^(a−b)i.

Rechenregeln, Ableitungen und Werte

Die grundlegende algebraische Beziehung lautet

[1+sl(x)²][1+cl(x)²]=2.

Für Summen gelten die Additionstheoreme

sl(a+b) = [sl(a)cl(b)+cl(a)sl(b)]/[1−sl(a)cl(a)sl(b)cl(b)], cl(a+b) = [cl(a)cl(b)−sl(a)sl(b)]/[1+sl(a)cl(a)sl(b)cl(b)].

Eine wichtige Verdopplungsformel ist

sl(2x)=2 sl(x)cl(x)[1+sl(x)²]/[1+sl(x)⁴].

Für die dreifache Stelle gilt

sl(3x)=[3sl(x)−6sl(x)⁵−sl(x)⁹]/[1+6sl(x)⁴−3sl(x)⁸], cl(3x)=[−3cl(x)+6cl(x)⁵+cl(x)⁹]/[1+6cl(x)⁴−3cl(x)⁸].

Aus den ersten Ableitungen folgen sl″(x)=−2sl(x)³ und cl″(x)=−2cl(x)³. Außerdem sind cl(x)=d/dx arctan[sl(x)] und sl(x)=−d/dx arctan[cl(x)].

Typische spezielle Werte sind sl(0)=0=cl(varpi/2), sl(varpi/2)=1=cl(0) sowie sl(varpi/4)=cl(varpi/4)=√(√2−1).

Reihen und Theta-Darstellungen

Für die numerische Berechnung gibt es schnell konvergierende Produkt- und Summenreihen. Die Produktreihen nach Whittaker und Watson beginnen mit den Kreisfunktionen sin(πx/varpi) beziehungsweise cos(πx/varpi) und korrigieren diese durch unendliche Produkte mit Exponentialfaktoren e^(−π).

Trigonometrisch-hyperbolische Summen liefern direkt sl und cl, etwa

sl(x)=(4π/varpi) sin(πx/varpi) Σₖ₌₀^∞ [(-1)^k sinh((k+1/2)π)]/[cosh((2k+1)π)+cos(2πx/varpi)].

Bei einem endlichen oberen Index m verhält sich die Präzision dieser Reihen wie 10^(−3m/2). Rein hyperbolische Darstellungen sind

(varpi/π)cl(varpi x)=Σₖ₌−∞^∞(−1)^k sech[π(k+x)], (varpi/π)sl(varpi x)=Σₖ₌−∞^∞(−1)^k sech[π(k−1/2+x)].

Die Ramanujansche Thetafunktion ist definiert durch ϑR(v;w)=Σₙ₌−∞^∞v^(n(n+1)/2)w^(n(n−1)/2). Aus ihr werden weitere Identitäten für Tangenshalbierungen von arctan(sl(x)) und arctan(cl(x)) sowie besonders schnell konvergierende Gaußsummen hergeleitet.

Verbindungen zu anderen elliptischen Funktionen

Die Funktionen stehen im lemniskatischen Fall in enger Beziehung zur Weierstraßschen ℘-Funktion ℘(z;1,0) mit den Invarianten g₂=1 und g₃=0. Ihr Gitter hat die Perioden ω₁=√2 varpi und ω₂=i√2 varpi; die Halbwerte sind e₁=1/2, e₂=0 und e₃=−1/2.

Das Quadrat des lemniskatischen Sinus erfüllt

sl²z=1/℘(z;4,0)=i/[2℘((1−i)z;−1,0)] = −2℘(√2z+(i−1)varpi/√2;1,0).

Außerdem ist sl z=−2℘(z;−1,0)/℘′(z;−1,0). In einer weiteren Jacobischen Schreibweise gilt sl z=sn(z;i)=sc(z;√2) und cl z=cd(z;i)=dn(z;√2). Der Modul i beziehungsweise die äquivalenten Darstellungen mit sd und cn beim Modul 1/√2 führen zu einem gegenüber den Achsen um 45° gedrehten quadratischen Periodengitter.

Die elliptische Lambda-Stern-Funktion kann für bestimmte Argumente mit Quadraten von sl an halbierten arcsl-Werten ausgedrückt werden, beispielsweise λ*(6)=sl[1/2 arcsl(√3/3)]² und λ*(10)=sl[1/2 arcsl(1/3)]².