Korrelation

Begriff und Bedeutung

Eine Korrelation beschreibt eine Beziehung zwischen zwei oder mehreren Merkmalen, Zuständen oder Funktionen. Diese Beziehung muss keine Ursache-Wirkungs-Beziehung sein. Die beteiligten Elemente können sich gegenseitig nicht beeinflussen; es kann auch eine stochastische, also vom Zufall beeinflusste Beziehung vorliegen.

Korrelationen sind in vielen Fachgebieten wichtig. In der Statistik wird der Zusammenhang zwischen statistischen Variablen mit Zusammenhangsmaßen erfasst, besonders bekannt ist der Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient. In der Signal- und Bildanalyse beschreibt die Kreuzkorrelationsfunktion den Zusammenhang zweier Signale bei unterschiedlichen Zeit- oder Ortsverschiebungen. In der Informationstheorie lässt sich die allgemeine, nicht notwendigerweise lineare Korrelation zweier Zufallsgrößen mit der Transinformation quantifizieren. In der Softwaretechnik prüft ein Korrelationstest nicht nur einzelne Funktionsparameter auf Plausibilität, sondern auch Kombinationen mehrerer Parameter.

In der archäologischen und geologischen Stratigraphie bezeichnet Korrelation die anhand gleicher Merkmale feststellbare relative Altersgleichheit räumlich getrennter Schichten oder Schichtenfolgen. In der Quantenphysik sind Messergebnisse verschränkter Teilsysteme korreliert: Das Ergebnis einer Messung an einem Teilsystem verändert die Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Ergebnisse an anderen Teilsystemen. Diese Beziehungen heißen Quantenkorrelationen. In der Philosophie wird die Verbindung zwischen erkennendem Subjekt und erkanntem Objekt als Korrelationismus bezeichnet; in der Psychologie kann die erkenntnisfördernde Verbindung unterschiedlicher Funktionen, Sachbereiche, Sachverhalte und Begriffe sowie die Einbeziehung von Nachbarwissenschaften als Korrelat bezeichnet werden.

Stärke, Richtung und Skalenniveau

Eine Korrelation soll vor allem zwei Fragen beantworten: Wie stark ist der Zusammenhang, und – sofern bestimmbar – in welche Richtung verläuft er? Korrelationsmaßzahlen liegen betragsmäßig meist zwischen 0 und 1. Ein Wert von 0 steht für keinen Zusammenhang, ein Wert von 1 für einen starken Zusammenhang. Bei Haar- und Augenfarbe von Studenten wurde beispielsweise ein korrigierter Kontingenzkoeffizient von 0,55 angegeben. Dieser Wert steht für einen mittelstarken Zusammenhang.

Eine positive Korrelation bedeutet: Wenn eine Größe zunimmt, nimmt tendenziell auch die andere zu. Beispiel: „Mehr Futter, dickere Kühe.“ Eine negative Korrelation oder Antikorrelation bedeutet: Wenn eine Größe zunimmt, nimmt die andere tendenziell ab. Beispiel: „Mehr zurückgelegte Strecke mit dem Auto, weniger Treibstoff im Tank.“ Zusammenhänge können Sättigungsgrenzen haben. Mehr Gas lässt ein Auto schneller fahren, aber nicht über seine technisch bedingte Maximalgeschwindigkeit hinaus. In vielen wirtschaftlichen Zusammenhängen steigen die Grenzkosten und sinkt der Grenznutzen.

Welches Korrelationsmaß verwendet und wie es interpretiert wird, hängt vom Skalenniveau der Variablen ab. Bei nominal skalierten Merkmalen können CramersV oder Phi verwendet werden, bei ordinal skalierten Merkmalen der Spearman’sche Rangkorrelationskoeffizient und bei metrisch beziehungsweise kardinal skalierten Merkmalen der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient von Bravais und Pearson.

Korrelation und Kausalität

Eine Korrelation beweist keine Ursache-Wirkungs-Beziehung und legt auch deren Richtung nicht eindeutig fest. Aus einem starken statistischen Zusammenhang folgt daher nicht, dass eine Variable die andere verursacht.

Typische Beispiele sind:

• Hoher Speiseeisumsatz und viele Sonnenbrände treten in manchen Sommern gemeinsam auf. Daraus folgt nicht, dass Eisessen Sonnenbrand verursacht. Die Sonneneinstrahlung kann als dritte Größe sowohl den Eisverkauf als auch Sonnenbrände beeinflussen.

• Der Rückgang der Störche und die Geburtenrate einer Region können zusammenhängen, ohne dass Störche Kinder bringen oder sich zu Kindern hingezogen fühlen. Eine mögliche gemeinsame Ursache wäre die Verstädterung, die Nistplätze vernichtet und zugleich mit Bedingungen verbunden sein kann, unter denen Menschen weniger Kinder bekommen.

• Menschen, die viel lachen, geben häufig an, glücklicher zu sein. Möglich ist, dass glückliche Menschen mehr lachen, dass häufiges Lachen glücklicher macht oder dass eine dritte Größe – etwa das Wetter am Beobachtungstag – beide Phänomene beeinflusst.

Solche Zusammenhänge werden missverständlich Scheinkorrelationen genannt; eigentlich handelt es sich um Schein-Kausalitäten. In der Berichterstattung können Schlagzeilen eine direkte Ursache suggerieren, obwohl mehrere direkte und indirekte Einflussfaktoren vorliegen. Bei Aussagen wie „Größere Leute verdienen mehr“ könnten Selbstvertrauen und dadurch bessere berufliche Chancen eine konfundierende Variable sein. Bei „Glückliche Menschen sind gesünder“ kann die Kausalrichtung auch umgekehrt sein, da Gesundheit das Glücksempfinden beeinflusst; zusätzlich können sozioökonomischer Status, finanzielle Mittel und Bildungsgrad beide Größen beeinflussen. Die Aussage „Senkung der Arbeitslosigkeit erfordert starkes Wirtschaftswachstum“ kann ebenfalls eine umgekehrte Kausalitätsrichtung verdecken: Starkes Wirtschaftswachstum könnte geringere Arbeitslosigkeit erfordern beziehungsweise durch sie begünstigt werden.

Auch bei der Aussage „CO₂ erklärt Nahtoderfahrung“ lässt die zeitgleiche Beobachtung beider Phänomene keine sichere Ursachenzuordnung zu. Nach dem Herztod steigt der CO₂-Gehalt im Blut schnell an; in der Zeit zwischen Herztod und noch nicht eingetretenem Hirntod können Nahtoderfahrungen auftreten. Verantwortlich könnte jedoch auch der sinkende Sauerstoffgehalt sein oder es könnte kein direkter Zusammenhang bestehen. Eine Prüfung ist schwierig, weil beide Phänomene in diesem besonderen Zeitfenster auftreten und Experimente kaum kontrollierbar sind.

Bei Untersuchungen zu „Kreative haben mehr Sex“ ist zudem wichtig, dass die Überschrift nicht unbedingt dem Studieninhalt entspricht. Die Studie bezog sich darauf, dass hauptberuflich im kreativen Bereich tätige Menschen im Durchschnitt doppelt so viele Sexualpartner hätten wie der „Rest“. Als mögliche Einflussfaktoren wurden unter anderem flexible Arbeitszeiten, Zufriedenheit, Gruppendynamik und die relativ kleine Stichprobe von insgesamt nur 425 Briten genannt. Auch die Aussage „Zuwanderer sind häufiger kriminell“ kann durch Armut, Arbeitslosigkeit, Traumafolgestörungen, soziale Bedingungen, Sprachbarrieren oder die unterschiedliche Erfassung von Delikten beeinflusst sein. Beispielsweise wurde in Flüchtlingskriminalitätsstatistiken wiederholt Schwarzfahren einbezogen, obwohl dabei auch mangelnde Einweisung in das öffentliche Verkehrssystem eine Rolle spielen kann.

Von Kausalität zu Korrelation und zurück

Wenn tatsächlich eine Ursache-Wirkungs-Beziehung besteht, erwartet man normalerweise eine Korrelation zwischen Ursache und Wirkung. Eine Korrelation kann deshalb ein Indiz dafür sein, dass zwei statistische Größen ursächlich zusammenhängen könnten. Das ist besonders aussagekräftig, wenn eine „Je … desto“-Beziehung besteht und eine Größe weitgehend allein von der anderen abhängt.

Beim Getreideanbau kann man beispielsweise beobachten, dass Getreide unter bestimmten Bedingungen bei stärkerer Bewässerung besser gedeiht. Die Korrelation zeigt jedoch nicht, ob das Wasser direkt das Wachstum fördert oder ob es beispielsweise die Lebensbedingungen eines Pflanzenschädlings verschlechtert. Außerdem können Temperatur, Nährstoffgehalt des Bodens und einfallendes Licht das Wachstum beeinflussen. Dadurch erklärt die Wassermenge das Wachstum weniger vollständig, auch wenn die Korrelation zwischen Wassermenge und Wachstum unverändert bleibt. Die Ursache-Wirkungs-Beziehung kann zudem nichtlinear sein: Bei einer Überflutung führt zu viel Wasser zum Absterben der Pflanzen, sodass sich die Wirkung ins Gegenteil verkehrt.

Der Fehlschluss, aus einer Korrelation unmittelbar auf eine Kausalität zu schließen, heißt Cum hoc ergo propter hoc. Um eine Kausalitätsrichtung und eine Ursache wirklich zu bestimmen, ist eine substanzwissenschaftliche Betrachtung mit Fachwissen erforderlich. Zur Prüfung einer Hypothese wären beispielsweise Experimente möglich, bei denen ein Faktor, etwa der Lärm in einem Haus, festgelegt und ein anderer Faktor, etwa die Intelligenz von Kindern, gemessen wird. Die Auswertung kann mithilfe von Regressionsanalyse oder Varianzanalyse erfolgen. Regression beschreibt jedoch zunächst den Zusammenhang und erklärt ihn nicht automatisch.

Viele Experimente sind wegen zu langer Dauer, zu hoher Kosten oder aus ethischen Gründen nicht durchführbar. Besonders in sozialwissenschaftlichen und medizinischen Fragestellungen sind daher häufig korrelative Studien, aber keine Experimente vertretbar. Um Korrelationen kausal zu interpretieren, sind weitere Untersuchungen nötig. Langzeitliche Zusammenhänge können durch Längsschnittstudien untersucht werden. Korrelative Studien dürfen nicht fälschlicherweise wie Experimente interpretiert werden.

Mathematische Darstellung und Kapitalanlagen

Häufig wird ein linearer oder monotoner Zusammenhang zweier Variablen betrachtet. Für einen linearen Zusammenhang zwischen x und y lautet die Gleichung: yᵢ = β₁ + β₂ xᵢ + εᵢ. Ist β₂ > 0, liegt eine positive Korrelation vor; ist β₂ < 0, liegt eine negative Korrelation vor. Für eine Schätzung von y müssen die Parameter β₁ und β₂ bekannt oder geschätzt werden. Die Schätzung dieser Parameter kann mit einer linearen Regression erfolgen.

Die Ähnlichkeit zwischen dem Pearson-Korrelationskoeffizienten rₓᵧ und der linearen Regression kann zur Verwechslung beider Verfahren führen. In einer einfachen Regression mit einer unabhängigen Variablen ist das Bestimmtheitsmaß R² gleich dem quadrierten Korrelationskoeffizienten rₓᵧ² und beschreibt die erklärte Varianz des einfachen Regressionsmodells. Trotzdem sind die Verfahren nicht austauschbar: Die Korrelation beschreibt die Stärke des Zusammenhangs, während die Regression eine unterstellte Kausalrichtung des Zusammenhangs modelliert beziehungsweise misst.

Bei Kapitalanlagen ist Korrelation für die Risikostreuung eines Portfolios wichtig. Das Gesamtrisiko eines Portfolios ist umso geringer, je geringer die einzelnen Anlagen miteinander korrelieren. Ein Portfolio aus vielen Aktien kann bei einem Kursrückgang des Aktienmarktes gemeinsam an Wert verlieren, weil die Aktien positiv miteinander korrelieren. Werden Aktien und Renten jeweils zur Hälfte gehalten, kann der Verlust geringer ausfallen, weil ihre Korrelation nur gering ist. Bei schwachem Aktienmarkt wird tendenziell in Renten investiert; dadurch können Rentenkurse steigen. Diese negative Korrelation fängt jedoch keinen vollständigen Aktienverlust auf.

Deshalb kann eine weitere Streuung auf andere Anlagen sinnvoll sein. Die Risikominderung durch Diversifikation oder durch Investitionen in negativ korrelierte Anlagen heißt Hedging. Bei idealer Diversifikation ist die Korrelation der Renditen negativ, genauer: −1. Nach dem Markowitz-Modell verbessert eine geringere Korrelation des Gesamtportfolios im Verhältnis zu seinen Einzelanlagen das Rendite-Risiko-Verhältnis. Langfristig kann damit prinzipiell eine höhere Rendite bei geringerem Risiko erzielt werden.

Korrelationen beschreiben vor allem die Richtung eines Verlaufs, nicht das Ausmaß der Veränderung. Eine positive Korrelation von 0,8 zwischen einer Aktie und dem DAX sagt beispielsweise nicht, um wie viel der Aktienkurs bei einem Anstieg des DAX um 3 % steigt. Sie sagt außerdem nicht, ob der DAX auf die Aktie wirkt oder umgekehrt. Für die Wertpapieranalyse wurde das Capital Asset Pricing Model entwickelt, in dem der Betafaktor eine wichtige Kennzahl ist.