Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus

Begriff und Definition

Sinus hyperbolicus sinh und Kosinus hyperbolicus cosh sind Hyperbelfunktionen. Sie sind den trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus ähnlich, werden aber über die Exponentialfunktion definiert. Mit der Eulerschen Zahl e = 2,71828… gilt:

sinh x = 1/2(e^x − e^(−x)), cosh x = 1/2(e^x + e^(−x)).

Daraus folgt e^x = cosh x + sinh x. sinh ist der ungerade Anteil von e^x, cosh sein gerader Anteil. Daher gilt sinh(−x) = −sinh x und cosh(−x) = cosh x. Über komplexe Zahlen besteht der Zusammenhang sinh x = −i·sin(i·x) und cosh x = cos(i·x).

Geometrie und wichtige Eigenschaften

Die Einheitshyperbel hat die Gleichung x² − y² = 1. Ihr rechter Ast lässt sich durch x = cosh t und y = sinh t parametrisieren. Dabei kann t als Flächeninhalt eines Hyperbelsektors verstanden werden: Eine Gerade durch den Nullpunkt, ihr Spiegelbild an der x-Achse und die Hyperbel begrenzen diese Fläche.

Beide Funktionen sind für alle reellen x definiert und nicht periodisch. sinh hat auch alle reellen Zahlen als Wertebereich, ist streng monoton steigend, punktsymmetrisch zum Ursprung und besitzt bei x = 0 seine einzige Nullstelle sowie eine Wendestelle. cosh hat den Wertebereich [1, +∞[, ist achsensymmetrisch zur y-Achse, fällt auf ]−∞, 0] streng und steigt auf [0, +∞[ streng. Es hat keine Nullstelle, aber ein Minimum bei x = 0.

Für x → ∞ nähern sich beide Funktionen 1/2 e^x an. Für x → −∞ gilt sinh x ~ −1/2 e^(−x), während cosh x ~ 1/2 e^(−x). Spezielle Werte sind sinh(ln Φ) = 1/2 und cosh(ln Φ) = 1/2√5, wobei Φ der goldene Schnitt ist.

Umkehrung, Ableitung und Grundformeln

Da sinh die reellen Zahlen bijektiv auf die reellen Zahlen abbildet, besitzt es die Umkehrfunktion Areasinus hyperbolicus:

arsinh x = ln(x + √(x² + 1)).

cosh ist auf [0, +∞[ bijektiv auf [1, +∞[. Seine dortige Umkehrfunktion heißt Areakosinus hyperbolicus:

arcosh x = ln(x + √(x² − 1)).

Für die Ableitungen und Stammfunktionen gilt:

(d/dx)sinh x = cosh x, (d/dx)cosh x = sinh x, ∫sinh x dx = cosh x + C, ∫cosh x dx = sinh x + C.

Die zentrale Hyperbelgleichung lautet cosh²x − sinh²x = 1. Außerdem gilt cosh x − sinh x = e^(−x), cosh(arsinh x) = √(x² + 1) und sinh(arcosh x) = √(x² − 1).

Rechenregeln, Reihen und komplexe Argumente

Die Additionstheoreme sind:

sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y, cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y.

Daraus folgen sinh 2x = 2 sinh x cosh x sowie cosh 2x = cosh²x + sinh²x = 2 cosh²x − 1 = 2 sinh²x + 1. Weiter gilt sinh 3x = 4 sinh³x + 3 sinh x und cosh 3x = 4 cosh³x − 3 cosh x. Die Potenzformeln sind sinh²x = 1/2(cosh(2x) − 1) und cosh²x = 1/2(cosh(2x) + 1).

Die Taylorreihen um x = 0 lauten sinh x = Σ(n=0 bis ∞) x^(2n+1)/(2n+1)! = x + x³/3! + x⁵/5! + … und cosh x = Σ(n=0 bis ∞) x^(2n)/(2n)! = 1 + x²/2! + x⁴/4! + … .

Für x, y ∈ ℝ gilt bei komplexen Argumenten beispielsweise sinh(x + iy) = cos y·sinh x + i sin y·cosh x und cosh(x + iy) = cos y·cosh x + i sin y·sinh x. Entsprechend ist sin(x + iy) = sin x cosh y + i cos x sinh y und cos(x + iy) = cos x cosh y − i sin x sinh y.

Integrale und Anwendungen

Ein wichtiges uneigentliches Integral lautet ∫ von −∞ bis ∞ dx/cosh(x) = π. Dabei ist gd(x) = arctan[sinh(x)] die Gudermannsche Funktion. Weiter gilt ∫ von −∞ bis ∞ dx/√cosh(x) = 2ϖ, wobei ϖ die lemniskatische Konstante bezeichnet, sowie ∫ von −∞ bis ∞ x dx/sinh(x) = 1/2π².

Jede Funktion f(x) = a·sinh x + b·cosh x mit a, b ∈ ℝ löst die Differentialgleichung f''(x) − f(x) = 0. Der Graph einer Kosinus-hyperbolicus-Funktion beschreibt außerdem ein homogenes Seil, das nur durch seine Eigenlast durchhängt. Diese Kurve heißt Kettenlinie oder Kettenkurve; ihre Rotation um die x-Achse ergibt ein Katenoid.

Bei einer speziellen Lorentztransformation in x-Richtung mit Rapidität λ erscheint die Matrix L = [[cosh λ, −sinh λ, 0, 0], [−sinh λ, cosh λ, 0, 0], [0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 1]]. Sie ähnelt einer Drehmatrix und verdeutlicht die Analogie zwischen Lorentztransformationen in der vierdimensionalen Raumzeit und Drehungen im dreidimensionalen Raum.

In einem flachen Universum mit im Wesentlichen Materie und Dunkler Energie gilt für den Skalenfaktor a(t) = (√((1 − ΩΛ,0)/ΩΛ,0)·sinh(t/tch))^(2/3), mit tch = 2/(3√ΩΛ,0 H0). H0 ist der heutige Hubble-Parameter und ΩΛ,0 der Dichteparameter der Dunklen Energie. Für den Dichteparameter der Materie gilt ΩM(t) = cosh^(−2)(t/tch).

Algebraische Gleichungen

Mit dem Verdreifachungstheorem sinh(3a) = 4 sinh³a + 3 sinh a lassen sich bestimmte kubische Gleichungen lösen. Eine reelle Lösung von 4x³ + 3x = ±s ist x = ±sinh[(arsinh s)/3].

Für p > 0 hat die Gleichung x³ + px = ±q die reelle Lösung

x = ±2√(p/3)·sinh[1/3·arsinh((q/2)·(√(3/p))³)].

Als Beispiele nennt der Artikel x³ + x = 1 mit x = (2√3/3)sinh[1/3·arsinh(3√3/2)] sowie x³ + 2x = 1 mit x = (2√6/3)sinh[1/3·arsinh(3√6/8)]. Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrfunktionen können auch Darstellungen von Lösungen quartischer Gleichungen und bestimmter durch Wurzelausdrücke lösbarer quintischer Gleichungen vereinfachen. Der Allgemeinfall von Gleichungen fünften und höheren Grades ist jedoch nach dem Satz von Abel-Ruffini nicht elementar lösbar.