Kettenlinie (Mathematik)

Definition und mathematische Form

Eine Kettenlinie, auch Seilkurve, Katenoide oder Kettenkurve, beschreibt die Form einer an beiden Enden aufgehängten Kette unter dem Einfluss der Schwerkraft. Mathematisch ist sie eine verschobene und gestreckte Cosinus-hyperbolicus-Funktion:

y(x)=a\cosh\left(\frac{x-x_0}{a}\right)+y_0.

Dabei ist a der Krümmungsradius am tiefsten Punkt, dem Scheitelpunkt, und zugleich der Vergrößerungsfaktor. x_0 verschiebt die Kurve in horizontaler, y_0 in vertikaler Richtung. Die konkrete Form ergibt sich, indem a, x_0 und y_0 so gewählt werden, dass die Kurve durch beide Aufhängepunkte verläuft und die vorgegebene Kettenlänge besitzt.

Die Form hängt bei einer gleichmäßig schweren, idealen Kette nicht von ihrer Gesamtmasse oder der Schwerebeschleunigung ab: Ein schweres und ein leichtes Seil gleicher Länge nehmen unter denselben Aufhängebedingungen dieselbe Form an. Auch auf dem Mond wäre die Form trotz anderer Fallbeschleunigung gleich; lediglich die auftretenden Kräfte wären anders.

Herleitung aus der potentiellen Energie

Die Kettenlinie lässt sich mit der Variationsrechnung herleiten. Dieses mathematische Verfahren bestimmt unter allen zulässigen Kurven diejenige, für die eine bestimmte Größe minimal ist. Eine frei hängende Kette nimmt die Form mit der kleinstmöglichen potentiellen Energie an, während ihre Länge fest bleibt.

Für ein kleines Kettenstück gilt bei der Masse je Meter \mu:

\mathrm dm=\mu\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm dx.

Damit ist die potentielle Energie zwischen den Aufhängestellen x_1 und x_2

E=\mu g\int_{x_1}^{x_2}y\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm dx,

während die fest vorgegebene Länge

l=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+y'^2}\,\mathrm dx

beträgt. Energie und Längenbedingung werden durch einen Lagrange-Multiplikator verbunden. Die Euler-Lagrange-Gleichung, also die notwendige Bedingung für das gesuchte Minimum, führt auf

(y-y_0)y''-y'^2=1

beziehungsweise in der ausführlichen Herleitung auf y''(y+\lambda)-y'^2-1=0. Ihre Lösungen sind genau die verschobenen und vergrößerten Cosinus-hyperbolicus-Funktionen.

Eine zweite, im Artikel als nicht hinreichend belegt gekennzeichnete Herleitung betrachtet das Kräftegleichgewicht einzelner Seilstücke. Für gleich schwere, durch Seile verbundene Gewichtsstücke sind die Unterschiede benachbarter Seilsteigungen gleich, etwa t_R-t_M=t_M-t_L. Im Grenzfall unendlich vieler, unendlich kurzer Stücke ist die Steigung direkt proportional zur vom Scheitelpunkt gemessenen Bogenlänge. Dies führt ebenfalls zu

y(x)=a\cosh[(x-x_0)/a]+y_0.

Länge, Durchhang und Seilspannung

Für die unverschobene Kurve y=a\cosh(x/a), die durch (x_1,y_1) und (x_2,y_2) verläuft, ist die Höhendifferenz

v=y_2-y_1=a\cosh(x_2/a)-a\cosh(x_1/a).

Da y'=\sinh(x/a) und \cosh^2x-\sinh^2x=1, ergibt sich für die Bogenlänge zwischen den Aufhängepunkten

l=a\sinh(x_2/a)-a\sinh(x_1/a).

Daraus folgt die wichtige Beziehung

l^2-v^2=4a^2\sinh^2\left(\frac{x_2-x_1}{2a}\right).

Bei zwei gleich hohen Pfosten mit Abstand w liegt der Scheitel in der Mitte, also x_0=0, und

l=2a\sinh\left(\frac{w}{2a}\right).

Diese Gleichung bestimmt a eindeutig aus w und l, besitzt aber keinen geschlossenen Ausdruck für a; der Wert muss numerisch angenähert werden. Sind stattdessen der Durchhang h und die Länge l gegeben, gilt

a=\frac12h\left[\left(\frac{l}{2h}\right)^2-1\right]

und beispielsweise

w=2h\left[\left(\frac{l}{2h}\right)^2-1\right]\operatorname{artanh}\left(\frac{2h}{l}\right).

Für ein symmetrisch aufgehängtes Seil mit Masse m=\mu l beträgt die Kraft an jedem Aufhängepunkt

F=\mu g(h+a)=\frac{mg}{2}\coth\left(\frac{w}{2a}\right).

Am tiefsten Punkt ist die Seilspannung \mu ga. Bei eng stehenden Pfosten nähert sich die Kraft an jedem Aufhängepunkt der halben Gewichtskraft mg/2. Mit wachsender Spannung übersteigt sie diesen Wert um den Faktor \coth(w/(2a)); im Alltag beträgt dieser Faktor laut Artikel etwa 2 bis 4.

Typische Berechnungsbeispiele

Für a=100\,\mathrm m und einen Mastabstand w=200\,\mathrm m wird ein Seil der Länge 2\cdot117{,}5\,\mathrm m benötigt, weil l/2=a\sinh(1). Der Durchhang beträgt 54 m. Bei einem Stahlseil mit 100 cm² Querschnitt wiegt eine Seilhälfte 9,2 t. An jeder Aufhängung wirken eine vertikale Kraft von 9\cdot10^4\,\mathrm N und eine horizontale Kraft von 7{,}7\cdot10^4\,\mathrm N.

Ein ausführliches Beispiel verwendet zwei Säulen mit den Höhen g=1\,\mathrm m und h=2\,\mathrm m, dem Abstand d=3\,\mathrm m und einer Kette der Länge k=4\,\mathrm m. Der Krümmungsradius folgt aus

4a^2\sinh^2\left(\frac{d}{2a}\right)=k^2-(h-g)^2

und beträgt a=1{,}182\,\mathrm m. Der horizontale Abstand des Scheitelpunkts von der niedrigeren Säule ist

x_{\mathrm{SP}}=\frac12d-a\operatorname{artanh}\left(\frac{h-g}{k}\right)=1{,}198\,\mathrm m.

Seine Höhe ergibt sich aus

y(x_{\mathrm{SP}})=a+g-a\cosh(x_{\mathrm{SP}}/a)=0{,}339\,\mathrm m.

Beim Gateway Arch sind Breite und Höhe jeweils 630 Fuß. Im Denkmal ist die Formel y=-127{,}7\,\mathrm{ft}\cdot\cosh(x/127{,}7\,\mathrm{ft})+757{,}7\,\mathrm{ft} ausgestellt. Wegen der veränderlichen Bogenstärke bildet das Bauwerk streng genommen jedoch keine exakte Kettenlinie.

Verwandte Kurven und Architektur

Die Kettenlinie ist keine Parabel. In der Nähe ihres Scheitelpunkts kann sie jedoch durch eine quadratische Parabel angenähert werden. Die Reihenentwicklung lautet

a\cosh(x/a)=a\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!a^{2n}}.

Bricht man sie für kleine |x| nach dem quadratischen Glied ab, entsteht die Näherung a+x^2/(2a). Außer direkt am Scheitel liefert diese Parabel zu kleine Werte. Eine echte Parabelform entsteht dagegen bei einer gleichmäßig über die horizontale Spannweite verteilten Last, beispielsweise näherungsweise bei einer Hängebrücke, wenn das Gewicht der Tragseile gegenüber dem Gewicht der Fahrbahn vernachlässigbar ist.

Rotiert eine Kettenlinie um die x-Achse, entsteht ein Katenoid. Es ist neben der Ebene die einzige Rotationsfläche, die zugleich eine Minimalfläche ist, also lokal kleinstmögliche Fläche besitzt. Eine Seifenhaut zwischen zwei nebeneinander gehaltenen Ringen bildet ein Katenoid. Außerdem ist die Kettenlinie die Evolute der Traktrix oder Schleppkurve; eine Evolute ist die Kurve der Krümmungsmittelpunkte einer anderen Kurve.

In der Architektur ist die Kettenlinie wichtig, weil ein entsprechend geformter, umgedrehter Bogen einer analogen Stützlinie folgt und ohne Scherkräfte belastet werden kann. Bei der Nubischen Tonne folgt die Stützlinie zur Erhöhung der Stabilität gewöhnlich der Kettenlinie. Christopher Wren ließ nach 1666 in die 30,80 m breite Kuppel der St Paul’s Cathedral ein empirisch angenähertes Katenoid einbauen, das die Last der Laterne aufnahm. Dieses Prinzip beeinflusste über Auguste de Montferrands Eisenkuppel der Isaakskathedrale in Sankt Petersburg von 1838–1841 auch die Eisenkuppel des Kapitols in Washington von 1855–1866.

Weitere Beispiele sind das Dach des Bahnhofs Budapest Ost, erbaut 1881/84 nach einer Konstruktion von János Feketeházy, sowie Bauten Antoni Gaudís, darunter die Sagrada Família. Gaudí bestimmte entsprechende Formen um 1900 experimentell mit kopfüber aufgehängten, belasteten Schnüren. Auch frei hängende Leitungsseile, Seilbrücken und ungefähr manche durch Tautropfen belasteten Spinnenfäden zeigen Kettenlinienformen.