Siebzehneck

Definition und zentrale Besonderheit

Ein Siebzehneck, auch 17-Eck oder Heptadekagon, ist ein Vieleck aus siebzehn Punkten, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Im Mittelpunkt steht das regelmäßige, konvexe Siebzehneck: Seine 17 Seiten sind gleich lang und alle Ecken liegen auf einem gemeinsamen Umkreis.

Seine besondere Bedeutung liegt darin, dass es mit den euklidischen Werkzeugen Zirkel und Lineal exakt konstruierbar ist. Über mehr als 2000 Jahre war dies nicht bekannt. Carl Friedrich Gauß zeigte 1796, dass sich die entscheidende Größe cos(2π/17) durch verschachtelte Quadratwurzeln ausdrücken lässt. Quadratwurzeln und die vier Grundrechenarten können geometrisch mit Zirkel und Lineal umgesetzt werden; deshalb ist die Konstruktion trotz vieler Schritte möglich.

Der Zentriwinkel μ zwischen zwei benachbarten Ecken beträgt μ = 2π/17 = 360°/17. Der Innenwinkel ist φ = 180° − μ = (15/17)·180° ≈ 158,823529°. Die Symmetriegruppe des regelmäßigen Siebzehnecks ist die Diedergruppe D₁₇.

Wichtige Größen und Formeln

Für Seitenlänge s und Umkreisradius rᵤ gelten:

• s = 2·sin(180°/17)·rᵤ ≈ 0,367499·rᵤ.
• Umfang: U = 17s ≈ 6,247484·rᵤ.
• Inkreisradius: rᵢ = (s/2)·cot(180°/17) ≈ 0,982973·rᵤ.
• Diagonale über zwei Seiten: d₂ = 2·sin(μ)·rᵤ ≈ 0,722483·rᵤ.
• Flächeninhalt: A = (1/4)·17s²·cot(180°/17) ≈ 3,070554·rᵤ².

Die genaue Gaußsche Formel lautet:

cos(2π/17) = (1/16)(−1 + √17 + √(2(17 − √17)) + 2√(17 + 3√17 − √(2(17 − √17)) − 2√(2(17 + √17)))) ≈ 0,93247222940435580457311589182156.

Eine kürzere Darstellung verwendet q := cos(2π/17) + cos(4·2π/17) und q′ := cos(3·2π/17) + cos(5·2π/17):

cos(2π/17) = (1/2)(q + √(q² − 2q′)).

Warum die Konstruktion algebraisch möglich ist

Eine Zirkel-und-Lineal-Konstruktion lässt sich algebraisch erklären: Geraden werden durch lineare Gleichungen, Kreise durch quadratische Gleichungen beschrieben. Neu konstruierte Punkte erfüllen daher Gleichungen, deren Koeffizienten mit den vier Grundrechenarten aus bereits bekannten Punkten bestimmt werden können.

Beim Siebzehneck wird die Kreisteilungsgleichung x¹⁷ − 1 = 0 betrachtet. Ihre Lösungen sind die siebzehnten Einheitswurzeln; als Punkte in der komplexen Zahlenebene bilden sie ein regelmäßiges Siebzehneck mit Umkreisradius 1. Für ζ = e^(2πi/17) ist der Realteil cos(2π/17). Die zweigliedrige Gaußsche Periode ζ + ζ¹⁶ = ζ + ζ⁻¹ = 2cos(2π/17) führt somit direkt zur gesuchten Kosinusgröße.

Für die Primzahl 17 kann 3 als Primitivwurzel gewählt werden. Die Potenzen 3⁰, 3¹, 3², 3³ sind modulo 17 gleich 1, 3, 9, 10; anschließend folgen 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6. Durch Gruppieren der entsprechenden Einheitswurzeln entstehen Gaußsche Perioden mit 8, 4 und 2 Summanden. Sie lassen sich schrittweise jeweils durch quadratische Gleichungen bestimmen und daher durch verschachtelte Quadratwurzeln ausdrücken.

Der Ansatz funktioniert analog für Primzahlen der Form 2^(2^k) + 1. Bekannte Fermatsche Primzahlen sind 3, 5, 17, 257 und 65537. Deshalb sind auch regelmäßige 257-Ecke und 65537-Ecke konstruierbar.

Konstruktion über die gaußsche Kurzformel

Die von Hans Vollmayr 2005 dargestellte Konstruktion zerlegt die Kurzformel in elementare geometrische Rechenschritte. Zunächst werden die Hilfsgrößen

p = (−1 + √17)/4 und q = (p + √(1 + p²))/2

konstruiert. Aus einer Einheitsstrecke entsteht √17 mithilfe eines rechtwinkligen Dreiecks; Strecken lassen sich addieren, halbieren und mit ähnlichen Dreiecken zu Quadraten wie p² und q² verarbeiten. Ein Halbkreis liefert dabei als Höhe die Wurzel √(p² + 1).

Analog werden

p′ = (−1 − √17)/4 und q′ = (p′ + √(1 + p′²))/2

konstruiert. Danach wird aus q² und 2q′ die Strecke √(q² − 2q′) erzeugt. Addiert man sie zu q und halbiert die Summe, erhält man

cos(2π/17) = (1/2)(q + √(q² − 2q′)).

Auf einem Einheitskreis wird diese Kosinuslänge auf einen Radius übertragen. Ein Lot durch ihren Endpunkt schneidet den Kreis im ersten Eckpunkt P₁; die Sehne zu P₁ ist die Seitenlänge. Sie wird anschließend fünfzehnmal auf dem Umkreis abgetragen und benachbarte Eckpunkte werden verbunden.

Weitere Konstruktionswege und geschichtlicher Rahmen

Gauß kündigte seine Entdeckung am 29. März 1796 als Mathematikstudent in Göttingen an und notierte sie am 30. März 1796 in seinem mathematischen Tagebuch. Die ausführliche Begründung erschien 1801 in den Disquisitiones Arithmeticae. Gauß wies 1819 darauf hin, dass dort in seiner Formel ein Druckfehler stand: Ein „−“ musste „+“ sein; die fehlerhafte Formel beschreibt cos 4φ statt cos φ.

Verschiedene Konstruktionen setzen die Konstruierbarkeit unterschiedlich um. Christoph Friedrich von Pfleiderer beschrieb 1802 eine frühe Konstruktion, bei der die Strecke HB die erste Seitenlänge liefert. T. P. Stowell gab 1818 eine Basiskonstruktion an: Der Bogen AN ist ein Siebzehntel des Kreisumfangs. Magnus Georg Paucker konstruierte 1819 zunächst eine Seite des 34-Ecks und gewann daraus die Seite |ij| des 17-Ecks.

Die bekannte Konstruktion von Herbert William Richmond von 1893 erzeugt die Eckpunkte P₃ und P₅. Der Bogen OAP₃ entspricht 3/17, der Bogen OAP₅ entspricht 5/17 des Umfanges. Die Diagonale |P₃P₅| wird danach abgetragen, um weitere Ecken zu erhalten. L. Gérard veröffentlichte 1897 eine Lösung allein mit Zirkel nach dem Satz von Mohr-Mascheroni; nach 19 Konstruktionsschritten sind drei Eckpunkte gefunden, für das vollständige Siebzehneck werden 33 benötigt. Duane W. DeTemple verwendete 1991 vier Carlyle-Kreise, um quadratische Gleichungen geometrisch zu lösen; die Sehne |P₀P₁| ist dort die erste Seite.

Überschlagene Formen und Vorkommen

Ein regelmäßiges überschlagenes Siebzehneck entsteht, wenn beim Verbinden der 17 Eckpunkte jeweils mindestens ein Punkt übersprungen wird und alle dabei entstehenden Sehnen gleich lang sind. Das Schläfli-Symbol {n/k} bedeutet: n ist die Zahl der Eckpunkte, und es wird jeweils jeder k-te Punkt verbunden. Die sieben möglichen Siebzehnstrahlsterne, auch Heptadekagramme, sind als Paare {17/2}, {17/15}; {17/3}, {17/14}; {17/4}, {17/13}; {17/5}, {17/12}; {17/6}, {17/11}; {17/7}, {17/10}; {17/8}, {17/9} angegeben.

Das Siebzehneck erscheint auch als Erinnerung an Gauß’ Entdeckung: auf zwei 1952/53 erworbenen Pedellstäben der Universität Braunschweig, am 1880 errichteten Gauß-Denkmal in Braunschweig als goldfarbener regelmäßiger Siebzehnstrahlstern und auf einer DDR-Briefmarke zu 20 Pfennig von 1977. In der Leipziger Mädlerpassage besitzt die Fensterrose der Rotunde einen siebzehneckigen Umriss; sie hat etwa zwölf Meter Durchmesser, liegt ungefähr fünfzehn Meter hoch und entstand 1912–1914. Das Sedan-Panorama in Berlin stand von 1884 bis 1904 auf einem siebzehneckigen Grundriss.