Polygonzug (Mathematik)

Grundidee und Definition

Ein Polygonzug, auch Streckenzug genannt, ist die Vereinigung der Verbindungsstrecken einer Folge von Punkten. Für Punkte P₁, P₂, …, Pₘ in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum lautet die Definition:

[P₁P₂] ∪ [P₂P₃] ∪ ⋯ ∪ [Pₘ₋₁Pₘ].

Der Polygonzug verläuft von P₁ nach Pₘ. Fallen P₁ und Pₘ zusammen, heißt er geschlossener Polygonzug. Andernfalls ist er offen. Polygonzüge werden unter anderem in Geometrie, Numerik, Topologie, Analysis und Funktionentheorie verwendet; außerdem in Computergrafik und Geodäsie.

Polygonzüge und Polygone

Ein Polygon ist die geometrische Figur, deren Rand von einem geschlossenen Polygonzug gebildet wird. Die Punkte P₁, …, Pₘ₋₁ heißen Eckpunkte des Polygons, die Strecken [P₁P₂], …, [Pₘ₋₁Pₘ] heißen seine Seiten.

Liegen die Punkte in einer Ebene, handelt es sich um ein ebenes Polygon. Liegen sie nicht in einer Ebene, spricht man von einem windschiefen Polygon.

In Anwendungen dienen Polygonzüge beispielsweise zur Interpolation von Datenpunkten, also zur näherungsweisen Verbindung gegebener Daten, zur numerischen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen mit dem eulerschen Polygonzugverfahren sowie zur Modellierung in der Computergrafik und im Computer-Aided Design. Im Vermessungswesen werden sie ebenfalls eingesetzt.

Polygonzüge im Vektorraum

Allgemeiner sei V ein reeller Vektorraum und seien x₁, x₂, …, xₘ ∈ V gegeben. Dann ist

𝒫 = ⋃ᵢ₌₁ᵐ⁻¹ [xᵢxᵢ₊₁]

der Polygonzug von x₁ nach xₘ. Dabei ist jede Strecke definiert durch

[xᵢxᵢ₊₁] = {(1 − λ)xᵢ + λxᵢ₊₁ | λ ∈ [0, 1]}.

Der Parameter λ beschreibt die Punkte zwischen den beiden Endpunkten: Für λ = 0 erhält man xᵢ, für λ = 1 erhält man xᵢ₊₁. Ist V ein topologischer Vektorraum, sind diese Strecken stetige Bilder des Einheitsintervalls und daher kompakt. Auch ihre endliche Vereinigung ist kompakt. Jeder Polygonzug ist außerdem ein Kontinuum.

Länge und Rektifizierbarkeit

Polygonzüge sind wichtig, um die Länge von Kurven im n-dimensionalen Raum zu bestimmen. Eine Kurvenlänge ist nur für rektifizierbare Kurven definiert.

Für eine Kurve 𝒦 betrachtet man alle Polygonzüge von x₁ nach xₑₙdₑ, deren Ecken x₁, x₂, …, xₘ = xₑₙdₑ in dieser Reihenfolge auf der Kurve liegen. Die Seiten dieser Polygonzüge sind dann Sehnen der Kurve. Ein solcher Polygonzug heißt Sehnenzug oder Sehnenpolygon; er ist der Kurve 𝒦 einbeschrieben. Seine Länge ist die Summe der Längen aller Strecken.

Die Kurve 𝒦 zwischen x₁ und xₑₙdₑ ist genau dann rektifizierbar, wenn die Längen aller einbeschriebenen Sehnenpolygone in ℝ eine obere Schranke besitzen. In diesem Fall wird ihre Länge durch

L(𝒦) = Supremum der Längen aller einbeschriebenen Sehnenpolygone

definiert.

Ein weiteres Kriterium gilt für eine stetig parametrisierte Kurve γ = (γ₁, …, γₙ): I → ℝⁿ mit I = [a, b] ⊂ ℝ: Sie ist genau dann rektifizierbar, wenn ihre Koordinatenfunktionen γ₁, …, γₙ von beschränkter Variation sind.

Polygonzüge und zusammenhängende Gebiete

Polygonzüge können auch bestimmen, ob eine offene Teilmenge eines topologischen Vektorraums ein zusammenhängendes Gebiet bildet. Eine offene Teilmenge G eines topologischen Vektorraums, insbesondere des n-dimensionalen Raums, ist genau dann zusammenhängend, wenn sich je zwei Punkte von G durch einen vollständig in G liegenden Polygonzug verbinden lassen.

Damit beschreibt der Satz Zusammenhang nicht nur als abstrakte Eigenschaft, sondern durch eine konkrete Verbindung aus endlich vielen Strecken, die innerhalb der betrachteten offenen Menge bleibt.