Pentagramm

Grundidee und Darstellung

Ein Pentagramm ist eine regelmäßige Form des fünfzackigen Sterns, auch Fünfstern genannt. Es entsteht, wenn man die fünf Eckpunkte eines regelmäßigen Fünfecks so verbindet, dass jeweils ein beziehungsweise zwei Punkte übersprungen werden. Die dabei entstehenden Sehnen sind gleich lang. Mathematisch wird der regelmäßige Stern mit dem Schläfli-Symbol {5/2} beziehungsweise {5/3} notiert.

Weitere Bezeichnungen sind Drudenfuß, Drudenstern, Pentakel und Pentalpha. Der Name Pentalpha bezieht sich darauf, dass die Figur aus fünf ineinanderstehenden Alphas („Α“) gedacht werden kann. Wegen seiner fünf Spitzen gibt es zwei grundlegende Ausrichtungen: Bei einer Spitze nach oben zeigen zwei Spitzen nach unten und zwei zur Seite. Bei einer Spitze nach unten zeigen zwei Spitzen nach oben und zwei zur Seite; diese Form heißt auch „umgekehrtes“ oder „invertiertes“ Pentagramm.

Im Unicodeblock „Verschiedene Symbole“ ist das Pentagramm als U+26E4 (9956) ⛤ mit dem Namen „PENTAGRAM“ enthalten. Das invertierte Pentagramm steht bei U+26E7 (9959) ⛧ unter dem Namen „INVERTED PENTAGRAM“.

Geometrischer Aufbau

Ein Pentagramm lässt sich aus fünf Punkten konstruieren, die gleichmäßig auf einem Kreis liegen. Der Abstand zwischen benachbarten Punkten beträgt dabei 72°. Verbindet man benachbarte Punkte, entsteht ein regelmäßiges Fünfeck mit Innenwinkeln von jeweils 108°. Verbindet man dagegen nicht benachbarte Punkte, entsteht das Pentagramm; seine spitzen Winkel betragen 36°.

Die inneren Abschnitte der Sehnen des Pentagramms bilden wieder ein regelmäßiges Fünfeck. Dieses innere Fünfeck ist gegenüber dem äußeren um 36° gedreht. Die fünf Zacken des Pentagramms sind gleichschenklige Dreiecke, also Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten. Die Winkel zwischen Basis und Schenkeln dieser Zackendreiecke betragen 72°.

Das innere Fünfeck bildet zusammen mit je zwei nicht benachbarten Zacken ein gleichschenkliges Dreieck mit stumpfer Spitze von 108°. Zeichnet man in das innere Fünfeck erneut ein Pentagramm, entstehen wieder ähnliche Dreiecke. Dadurch besitzt das Pentagramm eine selbstähnliche Struktur: In der Figur kann eine kleinere, gleichartig aufgebaute Figur erscheinen.

Äußeres Fünfeck, Pentagramm und inneres Fünfeck haben denselben Mittelpunkt. Jede Sehne des inneren Pentagramms verläuft parallel zu einer gegenüberliegenden Sehne des äußeren Pentagramms. Insgesamt treten zwischen Kanten des Pentagramms und des umschließenden Fünfecks nur Winkel von 36°, 72° oder 108° auf. Die fünf Symmetrieachsen bilden mit den Kanten Winkel von 18°, 54° und 90°.

Goldener Schnitt und Formeln

Das Pentagramm ist eng mit dem Goldenen Schnitt verbunden. Der Goldene Schnitt ist ein besonderes Längenverhältnis, das hier mit Φ bezeichnet wird. Im Pentagramm haben alle Sehnen und die durch Schnittpunkte begrenzten Sehnenteile zusammen mit äußerem und innerem Fünfeck nur vier verschiedene Längen. Jeweils aufeinanderfolgende Längen stehen im Verhältnis des Goldenen Schnitts.

Für bestimmte Strecken gilt zum Beispiel:

AB/BC = AC/AB = AD/AC

Betrachtet man Φ = AB/BC = AC/AB = (AB + BC)/AB, dann ergibt sich Φ = 1 + 1/Φ. Damit entspricht Φ der Definition des Goldenen Schnitts. Es gilt:

Φ = (1 + √5) / 2 = 1,618...

Wichtige Größen des Pentagramms sind unter anderem die Sehnenlänge l, die Seitenlänge a des äußeren Fünfecks, die Seitenlänge s des inneren Fünfecks und der Umkreisradius r. Für die Sehnenlänge gilt etwa l = Φ · a = ((1 + √5) / 2) · a ≈ 1,618 · a. Außerdem gilt l = Φ³ · s = (2 + √5) · s ≈ 4,236 · s.

Für die Seitenlänge des inneren Fünfecks gilt s = a/Φ² = ((3 − √5) / 2) · a ≈ 0,382 · a. Umgekehrt gilt für die Seitenlänge des äußeren Fünfecks a = Φ² · s = ((3 + √5) / 2) · s ≈ 2,618 · s. Der Umfang des Pentagramms wird mit U = 5 · l angegeben. Auch Flächeninhalt und Umkreisradius lassen sich mit Formeln berechnen, zum Beispiel A ≈ 5,568 · s² oder A ≈ 0,812 · a².

Vorkommen in Natur, Körpern und Gestaltung

Pentagrammformen und verwandte Fünfeckstrukturen kommen in verschiedenen Zusammenhängen vor. In der Natur wird das Fünfeck als Kennzeichen der Gewöhnlichen Stockrose genannt. In der Geometrie treten Pentagramme auch bei Polyedern auf, also räumlichen Körpern mit ebenen Seitenflächen. Beispiele sind der Dodekaederstern und der Ikosaederstern. Beide gehören zu den Kepler-Poinsot-Körpern.

In der Architektur wurde das Pentagramm wegen seines Zusammenhangs mit dem Goldenen Schnitt in manchen Kirchenbauten verwendet. Pentagramme sind an vielen Fensterrosetten gotischer Kirchengebäude zu sehen. Auch an der Ostseite des Turms der Marktkirche Hannover befindet sich ein Drudenfuß. Eine christliche Deutung der fünf Ecken bezieht sie auf die fünf Wunden Jesu Christi. Ein profanes, also nicht kirchliches Beispiel ist der Turm des José-Martí-Denkmals in Kuba, der über einem Fünfstern errichtet wurde.

In der Heraldik, also der Gestaltung von Wappen, und auf Flaggen wird der Drudenfuß als gemeine Figur verwendet. Marokko und Äthiopien führen einen Drudenfuß in ihren Flaggen; Kommunen wie Knielingen, Giebenach und Schlotheim verwenden ihn in ihren Wappen. Auch in der Numismatik, also der Münzkunde, ist das Pentagramm als Symbol schon seit der Antike bekannt. Es ist im Frühmittelalter auf merowingischen Münzen nachweisbar und erscheint vielfach auf Münzen und Geldscheinen Französisch-Marokkos.

Kulturelle und religiöse Bedeutungen

Das Pentagramm hatte in verschiedenen Zeiten und Gruppen unterschiedliche Bedeutungen. Ein frühes Beispiel stammt von einem Krug aus der mesopotamischen Djemdet-Nasr-Zeit um 3000 v. Chr.; dort wird es als Symbol für „Gottheit“ gedeutet. Pythagoras kannte das Pentagramm als Symbol für Gesundheit. Für ihn war besonders der mathematische Aspekt des Goldenen Schnitts wichtig. Weil man das Zeichen in einem Zug zeichnen kann und am Ende wieder zum Anfang gelangt, galt es auch als Zeichen für den Kreislauf des Lebens. Der gnostische Gott Abraxas wurde ebenfalls durch ein Pentagramm symbolisiert, weil er fünf Urkräfte in sich vereint.

Bei den Freimaurern wurde das Pentagramm zu einem übergeordneten Symbol auf den Arbeitsteppichen. Seine fünf Spitzen stehen dort für die Tugenden Klugheit, Gerechtigkeit, Stärke, Mäßigung und Fleiß. Weitere Deutungen verbinden die fünf Ecken mit dem Geist und den vier Elementen Feuer, Wasser, Erde und Luft oder mit Äther und den vier Himmelsrichtungen Norden, Süden, Westen und Osten. Der „Flammende Stern“ ist ein freimaurerisches Pentagramm, das von einer Gloriole umgeben ist und in der Mitte den Buchstaben G enthält.

Als Pentakel bezeichnet man besonders ein Pentagramm, das von einem Kreis umschlossen ist und als Amulettsymbol verwendet wird. Das Wort kann aber auch allgemeiner Amulette zur magischen Beschwörung meinen, selbst wenn ein anderes Symbol darauf steht.

Im Mittelalter und in nachmittelalterlicher Zeit galt das Pentagramm als Bannzeichen gegen das Böse sowie als Zauber- und Abwehrzeichen gegen Dämonen. Der Name Drudenfuß hängt mit dem Glauben an Druden zusammen, also nächtliche Spuk- und Quälgeister oder verfluchte Seelen. In Goethes Faust I hindert der Drudenfuß Mephistopheles daran, Fausts Studierzimmer zu verlassen.

Seit dem französischen Okkultisten Éliphas Lévi wird besonders das umgekehrte Pentagramm oder Pentakel mit Okkultismus und Satanismus verbunden. In seinem Werk Dogme et rituel de la haute magie aus der Mitte des 19. Jahrhunderts wird es als „Zeichen der Ziege des Sabbaths“ bezeichnet: Die Zacken stehen dabei für Hörner, Ohren und Bart der Ziege. Spätere Okkultisten griffen diese Deutung auf. Anton LaVey übernahm das Sigil of Baphomet als Zeichen seiner 1966 gegründeten Church of Satan. In den 1980er Jahren wurde das invertierte Pentagramm besonders in der Metal-Szene, vor allem im Black- und Death Metal, als Symbol für das Böse oder Satanismus beliebt. Daneben ist das Pentakel auch im Neuheidentum, besonders in Wicca, ein wichtiges Symbol.