Axonometrie

Grundidee

Die Axonometrie ist ein Verfahren der darstellenden Geometrie, mit dem räumliche Objekte relativ einfach in einer Zeichenebene dargestellt werden. Sie benutzt die kartesischen Koordinaten wichtiger Punkte und die Bilder der drei Koordinatenachsen in der Ebene. Das Ergebnis ist für jede Wahl der Bildachsen bis auf eine Skalierung eine Parallelprojektion. Meist entsteht eine schiefe oder schräge Parallelprojektion; nur bei besonderer Wahl der Bildachsen und Verzerrungsverhältnisse entsteht eine orthogonale, also senkrechte Parallelprojektion, bei der die Abbildungsstrahlen senkrecht auf der Bildebene stehen.

Man denkt sich den Ursprung O und die Punkte E_x(1,0,0), E_y(0,1,0) und E_z(0,0,1) mit parallelen Strahlen auf die Zeichenebene projiziert. Die Einheitsstrecken werden dabei in der Regel verändert dargestellt. Diese Veränderungen heißen Verzerrungsverhältnisse und werden mit v_x, v_y und v_z bezeichnet.

Ein Punkt P(x,y,z) wird im Bild konstruiert, indem man vom Bild des Nullpunkts ausgeht und nacheinander um x · v_x in Richtung der x-Bildachse, um y · v_y in Richtung der y-Bildachse und um z · v_z in Richtung der z-Bildachse geht. Die Reihenfolge dieser drei Schritte ist beliebig. Praktisch wählt man meist nicht erst eine genaue Projektionsrichtung und eine Lage der Bildebene, weil die Konstruktion der Bildachsen und Verzerrungen aufwendig wäre. Stattdessen legt man die Bildachsen und passende Verzerrungen direkt fest.

Die mathematische Rechtfertigung dafür liefert der Satz von Pohlke: Für fast jede Wahl von Bildachsen und Verzerrungen erhält man bis auf Ähnlichkeit, also bis auf Skalierung, das Bild einer Parallelprojektion. Vorausgesetzt wird nur, dass die vier Bildpunkte des Ursprungs und der drei Einheitspunkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen. Ein Verzerrungsverhältnis könnte dabei sogar 0 sein.

Achsen, Verzerrungen und Einteilung

Für eine gut lesbare Zeichnung müssen Bildachsen und Verzerrungsverhältnisse geeignet gewählt werden. Eine gute Bildwirkung entsteht besonders dann, wenn die Darstellung einer senkrechten Parallelprojektion entspricht. Zugleich möchte man im technischen Zeichnen möglichst einfache Verzerrungsverhältnisse verwenden, zum Beispiel 1 oder 0,5.

Auf Karo-Papier bietet sich eine einfache Wahl an: Zwei Koordinatenachsen fallen mit den Hauptrichtungen des Papiers zusammen, die dritte Achse verläuft in Richtung der Karo-Diagonalen. Wählt man auf der waagrechten und senkrechten Achse jeweils zwei Kästchen als Einheit und auf der Diagonalrichtung eine Kästchendiagonale, ergeben sich die Verzerrungen v_x : v_y : v_z = 1/√2 : 1 : 1, also ungefähr 0,7 : 1 : 1.

Axonometrien werden nach ihren Verzerrungen eingeteilt. Sind zwei Verzerrungen gleich, heißt die Darstellung dimetrisch. Sind alle drei Verzerrungen gleich, heißt sie isometrisch. Sind alle drei unterschiedlich, heißt sie trimetrisch.

Zur Beschreibung der Achsen verwendet man die Winkel α, β und γ. α ist der Winkel zwischen der z-Bildachse und der x-Bildachse. β ist der Winkel zwischen der z-Bildachse und der y-Bildachse. γ ist der Winkel zwischen der x-Bildachse und der y-Bildachse. Bei einer allgemeinen Axonometrie können die Winkel 0 < α, β und die Verzerrungen 0 < v_x, v_y, v_z fast frei gewählt werden. Damit die drei Achsenbilder nicht auf einer Geraden liegen, muss 0 < α + β < 360° gelten. Diese Bedingung ergibt eine Ansicht von schräg oben. Die Bedingung 360 < α + β < 720° liefert Ansichten von schräg unten und vertauscht die übliche Orientierung von der x-Achse zur y-Achse. Negative Verzerrungen würden die übliche Orientierung der Achsen verändern.

Wichtige Spezialformen

Bei der Kavalierprojektion und der Kabinettprojektion liegt die Bildebene parallel zur yz-Ebene. Dafür gilt β = 90° und v_y = v_z = 1. Die Begriffe Kavalierperspektive und Kabinettperspektive werden in der Literatur nicht einheitlich definiert. Häufig gelten zusätzliche Einschränkungen: Bei der Kabinettprojektion nimmt man zusätzlich α = γ = 135° und v_x = 0,5; sie ist dann dimetrisch. Bei der Kavalierprojektion nimmt man zusätzlich α = γ = 135° und v_x = 1; sie ist dann isometrisch.

Bei der Vogelperspektive liegt die Bildebene parallel zur xy-Ebene. Es gilt γ = 90° und v_x = v_y = 1. Damit ist sie dimetrisch. Die Militärprojektion ist ein Spezialfall der Vogelperspektive mit zusätzlich v_z = 1 und ist damit isometrisch. Solche Darstellungen werden bei Stadtplänen verwendet, um Maßstabgerechtigkeit in der Horizontalen und Anschaulichkeit von Gebäuden zu verbinden.

Die Ingenieur-Axonometrie nach ISO 5456-3:1996(E) hat die Verzerrungen v_x = 0,5 und v_y = v_z = 1. Sie ist daher dimetrisch. Die Achsen sind mit α = γ = 132° und β = 97° ausgerichtet, auch beschreibbar als 7° und 42° zur Waagerechten. Ihre Vorteile sind einfache Verzerrungen, eine fast senkrechte Axonometrie mit guter Bildwirkung und Skalierungsfaktor 1,06 sowie die Eigenschaft, dass der Umriss einer Kugel ein Kreis ist.

Bei der isometrischen Axonometrie, kurz Isometrie, sind alle Verzerrungen gleich. Die Winkel zwischen den Achsenbildern können dabei grundsätzlich noch frei gewählt werden. In der Standard-Isometrie gilt v_x = v_y = v_z = 1; alle Achsen sind also unverzerrt. Außerdem gilt α = β = γ = 120°, wobei die z-Bildachse senkrecht steht. Vorteile sind, dass Koordinaten unverändert übernommen werden können und dass das Bild eine um den Faktor √1,5 = 1,225 skalierte Orthogonalprojektion ist. Dadurch entsteht eine gute Bildwirkung, und der Umriss einer Kugel ist ein Kreis. Ein Nachteil der symmetrischen Darstellung ist, dass zwei der 8 Eckpunkte eines achsenparallelen Würfels zusammenfallen.

Kreise und Kugeln

Kreise werden bei einer Parallelprojektion im Allgemeinen als Ellipsen abgebildet. Ein wichtiger Sonderfall tritt auf, wenn die Kreisebene parallel zur Bildtafel liegt: Dann wird der Kreis unverzerrt dargestellt. Bei einer Kavalierprojektion gilt das zum Beispiel für Kreise in der yz-Ebene, weil diese Ebene unverzerrt abgebildet wird. Bei einer Vogelperspektive bleiben alle horizontalen Kreise unverzerrt.

Wenn ein Kreis zu einer Ellipse verzerrt wird, kann man einige Punkte und ein Tangentenquadrat abbilden. Das Quadrat erscheint im Bild als Parallelogramm; in dieses kann eine Ellipse von Hand oder mit einem Zeichenprogramm eingepasst werden. Wichtig ist, dass die Bilder senkrechter Kreisdurchmesser im Allgemeinen nicht die Hauptachsen der Ellipse sind, sondern konjugierte Durchmesser. Aus ihnen kann man die Hauptachsen mithilfe der Rytzschen Achsenkonstruktion rekonstruieren. Danach kann die Ellipse exakt mit einem Zeichenprogramm oder einem Ellipsenzirkel gezeichnet werden. Mit Zirkel, Lineal und Kurvenlineal lässt sich die Ellipse auch näherungsweise über Scheitelkrümmungskreise zeichnen. In der orthogonalen Axonometrie kommt man meist ohne die aufwendige Rytzkonstruktion aus.

Der Umriss einer Kugel ist nur bei orthogonaler Axonometrie einfach ein Kreis mit dem Radius der Kugel. Da die Ingenieur-Axonometrie und die Standardisometrie skalierte Orthogonalprojektionen sind, erscheint der Kugelumriss auch dort als Kreis, jedoch skaliert. In einer beliebigen Axonometrie erscheint der Umriss einer Kugel als Ellipse, was den Betrachter irritieren kann. Deshalb sollte man Darstellungen mit Kugeln besser in orthogonaler Axonometrie oder wenigstens in Ingenieur-Axonometrie oder Standardisometrie zeichnen.

Rechnen mit Matrizen

Eine Axonometrie lässt sich auch rechnerisch beschreiben. Im Raum liegt ein kartesisches x-y-z-Koordinatensystem mit Ursprung O vor. Die Zeichenebene besitzt ein kartesisches x'-y'-Koordinatensystem mit Ursprung beim Bildpunkt von O. Eine Axonometrie ordnet einem Raumpunkt P mit Koordinatenvektor p = (x, y, z)^T einen Bildpunkt mit Koordinatenvektor f(p) = (x', y')^T zu. Diese Abbildung f: R^3 → R^2 ist linear und kann deshalb durch eine 2×3-Abbildungsmatrix A beschrieben werden: f(p) = A p.

Die drei Spalten der Matrix A sind die Bildvektoren der Standardbasis-Vektoren e_x = (1,0,0)^T, e_y = (0,1,0)^T und e_z = (0,0,1)^T. Sie beschreiben die x-, y- und z-Bildachse. Diese drei Bildachsen dürfen nicht auf einer gemeinsamen Ursprungsgeraden liegen; entsprechend hat die reelle 2×3-Matrix A den Rang 2. Umgekehrt erzeugt jede solche Matrix eine Axonometrie.

Aus den Verzerrungen v_x, v_y, v_z und den Winkeln α und β ergibt sich, bei nach oben gerichteter y'-Achse und z-Bildachse sowie nach rechts gerichteter x'-Achse, die Matrix A = ((-v_x sin α, v_y sin β, 0), (v_x cos α, v_y cos β, v_z)). Für die Standard-Isometrie mit v_x = v_y = v_z = 1 und α = β = 120° erhält man A = ((-√3/2, √3/2, 0), (-1/2, -1/2, 1)). Dabei wird zum Beispiel die Ecke p = (1,1,1)^T des Einheitswürfels auf f(p) = (0,0)^T abgebildet, ebenso wie die gegenüberliegende Ecke (0,0,0)^T. Das erklärt den erwähnten Schönheitsfehler der Standard-Isometrie. Multipliziert man diese Matrix mit √(2/3), erhält man eine Matrix einer orthogonalen Axonometrie.