Scherung (Geometrie)

Grundidee und Definition in der Ebene

Eine Scherung, auch Transvektion genannt, ist eine affine Abbildung, die in der Ebene den Flächeninhalt erhält. Eine Gerade, die Scherungsachse oder Fixpunktgerade, bleibt dabei punktweise fest. Alle anderen Punkte werden parallel zu dieser Achse verschoben. Die Länge ihres Verschiebungsvektors ist proportional zu ihrem Abstand von der Achse.

Auch jede zur Achse parallele Gerade wird auf sich selbst abgebildet und ist damit eine Fixgerade. Strecken auf solchen Geraden behalten ihre Länge, und der Abstand jedes Punktes von der Achse ändert sich nicht. Deshalb wird beispielsweise ein Rechteck auf ein Parallelogramm gleichen Flächeninhalts abgebildet. Ein Dreieck mit einer zur Achse parallelen Seite geht in ein Dreieck gleicher Höhe über.

Formal ist eine Affinität σ eines zweidimensionalen affinen Raumes E eine Scherung, wenn es zwei verschiedene Fixpunkte F₁ und F₂ gibt und für einen Punkt P außerhalb ihrer Verbindungsgeraden a gilt: P ist entweder ebenfalls ein Fixpunkt oder PP^σ ist parallel zu F₁F₂. Die Gerade a ist dann die Scherungsachse. Diese Definition schließt die identische Abbildung ein. Andernfalls werden mit einem Punkt außerhalb der Achse alle Punkte außerhalb der Achse parallel zu ihr verschoben.

Eine Affinität der Ebene ist eindeutig bestimmt, wenn für drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte jeweils die ebenfalls nicht auf einer Geraden liegenden Bildpunkte angegeben sind.

Erhaltene Größen und Konstruktion

Die Scherung lässt sich ohne Abstands- oder Flächenbegriffe definieren und ist daher in jeder affinen Ebene sinnvoll. Sind zusätzlich ein euklidischer Abstand und ein dazu passender Flächeninhalt festgelegt, bleiben folgende Größen erhalten:

• der Abstand zwischen zwei Punkten auf der Achse oder auf einer Parallelen zur Achse,

• der Abstand zwischen zwei zur Achse parallelen Geraden,

• der orientierte Flächeninhalt jeder messbaren Fläche.

Diese Eigenschaften gelten unabhängig davon, welche euklidische Struktur, also welche Winkel- und Abstandsbegriffe, auf der reellen Ebene gewählt wird. Diese Unabhängigkeit teilen Scherungen mit Parallelverschiebungen. Außerdem kann jede Scherung als Verkettung zweier verschiedener Schrägspiegelungen an derselben Geraden g dargestellt werden.

Eine Scherung ist festgelegt, wenn ihre Achse a sowie ein Punkt P außerhalb der Achse und sein Bild P′ bekannt sind. Für einen weiteren Punkt Q, der weder auf a noch auf PP′ liegt, wird der Bildpunkt Q′ so konstruiert:

• Durch Q wird die Parallele q zu a gezeichnet.

• Die Gerade PQ schneidet a in einem Fixpunkt F.

• Die Gerade FP′ ist das Bild von PQ. Ihr Schnittpunkt mit q ist Q′.

Liegt Q auf der Achse, gilt Q′ = Q. Liegt Q auf PP′, kann zunächst ein geeigneter Hilfspunkt verwendet werden; alternativ nutzt man, dass die Scherung auf PP′ wie eine Verschiebung wirkt.

Koordinaten, Matrizen und algebraische Struktur

Fällt die x-Achse eines kartesischen Koordinatensystems mit der Scherungsachse zusammen, lautet die Abbildung

(x, y) ↦ (x + my, y)

mit der Matrix

[[1, m], [0, 1]].

Ist stattdessen die y-Achse die Scherungsachse, tauschen 0 und m ihre Positionen. Beide Abbildungen verändern den Winkel zwischen den Koordinatenachsen um arctan m.

Eine affine Abbildung α mit x⃗ ↦ Mx⃗ + v⃗ ist genau dann eine Scherung, wenn die Fixpunktgleichung x⃗_F = Mx⃗_F + v⃗ mindestens eine Lösung besitzt und das charakteristische Polynom der Matrix M gleich χ_M(X) = (X − 1)² ist. Dabei ist χ_M(X) := det(XI − M).

In homogenen Koordinaten kann man eine affine Abbildung durch eine erweiterte 3×3-Matrix darstellen:

[[m₁₁, m₁₂, v₁], [m₂₁, m₂₂, v₂], [0, 0, 1]].

Die Verkettung beliebiger Scherungen ist im Allgemeinen keine Scherung; daher bilden alle Scherungen der Ebene keine Gruppe. Ihre erweiterten Matrizen liegen jedoch in der Gruppe der Matrizen dieser Form mit Determinante 1. Diese entsprechen den flächentreuen und orientierungserhaltenden Affinitäten und bilden eine Teilmenge der speziellen linearen Gruppe SL(3, K).

Scherungen mit einer gemeinsamen Achse bilden dagegen eine abelsche, also kommutative Gruppe. Bei Wahl dieser Achse als x-Achse haben ihre Matrizen die Form [[1, m, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]. Diese Gruppe ist zur Gruppe der Verschiebungen in einer festen Richtung isomorph.

Auch Scherungen mit zueinander parallelen Achsen bilden eine abelsche Gruppe. Ihre Matrizen können in der Form [[1, m, v₁], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] geschrieben werden. Bei der Verkettung addieren sich die Parameter: (m, v₁) und (n, w₁) ergeben (m + n, v₁ + w₁). Die neue Scherungsachse ist wieder zu den ursprünglichen Achsen parallel. Diese Gruppe ist das direkte Produkt der Scherungen mit einer festen Achse und der Verschiebungen parallel dazu; sie ist isomorph zur Gruppe der Parallelverschiebungen der Ebene.

Scherungen in höheren Dimensionen

Für höherdimensionale Räume gibt es zwei nicht einheitlich verwendete Verallgemeinerungen. Beide erhalten das orientierte Volumen und lassen mindestens einen eindimensionalen affinen Teilraum punktweise fest.

In der spezielleren Definition besitzt eine Scherung im n-dimensionalen Raum eine Fixpunkthyperebene. Eine Hyperebene ist ein Teilraum mit einer Dimension weniger als der Gesamtraum. Alle außerhalb liegenden Punkte werden in einer festen, zur Hyperebene parallelen Richtung verschoben; die Verschiebungslänge ist proportional zum Abstand von der Hyperebene. Im dreidimensionalen Raum kippt diese Form einen passend ausgerichteten Quader nur in einer Richtung, sodass vier Seitenflächen Rechtecke bleiben. Der Quader wird zu einem schiefen Prisma.

Nach der allgemeineren Definition ist jede Affinität eine Scherung, die bezüglich einer geeigneten Basis eine Matrix der Form

[[I₁, M], [0, I₂]]

besitzt. I₁ und I₂ sind Einheitsmatrizen, M ist beliebig. Der fixierte lineare Raum hat die Dimension rang(I₁) ≥ 1. Im dreidimensionalen Raum kann ein Quader dadurch zu einem allgemeinen Parallelepiped werden; dessen orientiertes Volumen stimmt mit dem Volumen des ursprünglichen Quaders überein.

Jede allgemeine Scherung eines n-dimensionalen Raumes mit einer Fixpunktgeraden lässt sich als Verkettung von höchstens n − 1 speziellen Scherungen mit jeweils einer Fixpunkthyperebene darstellen. Alle diese Hyperebenen enthalten die Fixpunktgerade. Gibt es ein Skalarprodukt und gilt die Blockmatrixdarstellung bezüglich einer Orthonormalbasis, können die Fixpunkthyperebenen der speziellen Scherungen orthogonal zueinander gewählt werden.

Scherstreckung und mechanische Scherung

Eine Scherstreckung entsteht durch die Hintereinanderausführung einer Scherung und einer zentrischen Streckung; die Reihenfolge ist beliebig. Anders als eine reine Scherung erhält sie Flächen- und Rauminhalte im Allgemeinen nicht. In der Ebene kann sie durch geeignete Koordinaten auf die Normalform

A = [[a, 1], [0, a]], a ∈ ℝ ∖ {0, 1}

gebracht werden. Sie besitzt keine Achse, also keine Fixpunktgerade, aber genau ein Zentrum beziehungsweise einen Fixpunkt. Wird zusätzlich eine Verschiebung ausgeführt, entsteht erneut eine Scherstreckung, deren Zentrum sich ändern kann.

In der Kontinuumsmechanik bezeichnet Scherung eine entsprechende Verformung eines dreidimensionalen Körpers. Massenelemente werden in einer gemeinsamen Richtung parallel zu einer festen Ebene verschoben; die Verschiebungslänge ist proportional zu ihrem Abstand von dieser Fixpunktebene. Damit entspricht die mechanische Scherung der spezielleren dreidimensionalen geometrischen Definition.

Ist die Fixpunktebene die xy-Ebene und verlaufen alle Verschiebungen parallel zur x-Achse, gilt

(x, y, z) ↦ (x + Δx, y, z)

mit der Matrix

[[1, 0, m], [0, 1, 0], [0, 0, 1]].

Dabei ist Δx = m · z die Verschiebung eines Massenelements im Abstand z von der Fixpunktebene.