Affinität (Mathematik)

Begriff und grundlegende Merkmale

Eine Affinität ist in der Geometrie eine strukturerhaltende bijektive Abbildung eines affinen Raumes auf sich selbst, häufig einer Zeichenebene oder des dreidimensionalen Anschauungsraums. Sie verallgemeinert die Ähnlichkeit: Verhältnisse von Streckenlängen in verschiedenen Richtungen und damit Winkel müssen nicht erhalten bleiben.

Als affine, bijektive Abbildung bildet sie Punkte auf Punkte und Geraden auf Geraden ab. Punkte einer Geraden bleiben kollinear, also auf einer gemeinsamen Bildgeraden. Außerdem erhält sie Teilverhältnisse auf einer Geraden und bildet parallele Geraden wieder auf parallele Geraden ab. Jede Affinität ist daher eine Kollineation, also geradentreu.

Im euklidischen Raum ändern sich im Allgemeinen Streckenlängen, Winkel sowie Flächen- und Rauminhalte. Affinitäten, die diese Größen unverändert lassen und somit Isometrien sind, heißen Bewegungen. Bleiben Längenverhältnisse und damit auch Winkel zwischen Geraden erhalten, spricht man von einer Ähnlichkeit.

In der synthetischen Geometrie einer affinen Ebene ist eine Kollineation genau dann eine Affinität, wenn ihre Einschränkung auf jede Gerade durch eine Komposition von Parallelprojektionen darstellbar ist. In desargueschen Ebenen ist dies gleichwertig mit der Definition einer teilverhältnistreuen Kollineation. Affine Räume ab Dimension drei sind stets desarguesch.

Darstellung durch Koordinaten

Nach Wahl einer affinen Punktbasis lässt sich eine Affinität für Ortsvektoren durch

\alpha:\;\vec{x}'=A_n\cdot\vec{x}+\vec{t}

angeben. \vec{t} heißt Verschiebungsvektor, A_n ist die quadratische n\times n-Abbildungsmatrix. Für eine Affinität gilt stets \det(A_n)\neq 0; dadurch ist die Abbildung bijektiv.

Dabei wird der affine Raum als endlichdimensionaler Vektorraum V über einem Körper K aufgefasst, in der Geometrie meist K=\mathbb{R}. Die Punkte entsprechen den Vektoren aus V, also Ortsvektoren. Affine Unterräume sind additive Nebenklassen linearer Unterräume von V.

Wichtige Arten von Affinitäten

Eine radiale oder zentrische Affinität besitzt genau einen Fixpunkt. Dies ist äquivalent zu \mathrm{rang}(A_n-E_n)=n, wobei E_n die Einheitsmatrix ist.

Eine perspektive Affinität besitzt genau eine Fixpunkthyperebene, also eine Hyperebene, die ausschließlich aus Fixpunkten besteht. Dafür gilt äquivalent \mathrm{rang}(A_n-E_n)=\mathrm{rang}(A_n-E_n\mid\vec{t})=1. Eine perspektive Affinität besitzt ein invariantes Rechtwinkelpaar. Hat sie neben dem Eigenwert \lambda_1=1 noch einen Eigenwert \lambda_2\in K\setminus\lbrace0,1\rbrace, heißt sie Parallelstreckung. Eine Parallelstreckung mit \lambda_2=-1 heißt Affinspiegelung; besitzt sie nur den Eigenwert \lambda_1=1, heißt sie Scherung.

Bei einer Homothetie oder Dilatation gilt A_n=k\cdot E_n mit k\in K\setminus\lbrace0\rbrace. Für k\in K\setminus\lbrace0,1\rbrace heißt sie Zentralstreckung, für k=1 Verschiebung oder Translation und für k=-1 Punktspiegelung.

Eine Affinität ist unimodular, wenn \det(A_n)=\pm1, und eigentlich unimodular, wenn \det(A_n)=1. Ist der Körper angeordnet, ist sie genau bei \det(A_n)=\pm1 inhaltstreu. Bei \det(A_n)>0 heißt sie gleichsinnig.

Erhaltene Eigenschaften und Achsenaffinitäten

Bijektivität gehört zur Definition: Eine Affinität ist sowohl injektiv als auch surjektiv. Ihre Geradentreue bedeutet, dass das Bild einer Geraden wieder eine Gerade ist; ihre Parallelentreue, dass parallele Geraden parallele Bildgeraden haben.

Die Teilverhältnistreue besagt: Liegt T auf der Strecke [AB] und sind A', B', T' die Bildpunkte, dann ist das Teilverhältnis von (A';T';B') gleich demjenigen von (A;T;B). Insbesondere wird der Mittelpunkt M von [AB] auf den Mittelpunkt von [A'B'] abgebildet.

Bei einer perspektiven Affinität der Ebene ist die Fixpunkthyperebene eine Gerade, die Achse der Affinität; solche Abbildungen heißen auch Achsenaffinitäten. Die Gerade \overline{PP'} durch einen Punkt und seinen Bildpunkt ist eine Fixgerade. Sie bleibt sowohl dann erhalten, wenn sie die Achse schneidet, als auch dann, wenn sie zu ihr parallel ist: Dies folgt jeweils aus Geraden- beziehungsweise Parallelentreue.

Auch jede Parallele zu einer Fixgeraden ist wieder eine Fixgerade. Dazu nutzt man, dass die Bildgerade parallel zur ursprünglichen Fixgeraden sein muss, und die Teilverhältnistreue: Mit einem Punkt auf der Achse, einem Punkt auf der Fixgeraden und dem umgekehrten ersten Strahlensatz folgt, dass ein Punkt der parallelen Geraden wieder auf derselben Geraden liegt.

Konstruktion und Gruppen der Affinitäten

Ist eine perspektive Affinität durch ihre Fixgerade a sowie ein Punkt-Bildpunkt-Paar P,P' gegeben, kann der Bildpunkt Q' eines Punktes Q konstruiert werden. Man wählt zunächst einen Punkt A auf a. Die Bildgerade von \overline{PA} ist \overline{AP'}. Eine durch Q gezogene Parallele zu \overline{PA} schneidet a in A'; Q' liegt dann auf der Parallelen zu \overline{AP'} durch A'. Schneidet \overline{PQ} die Achse in S, liegt Q' außerdem auf \overline{SP'}. Es ist also der Schnittpunkt dieser beiden Geraden. Falls \overline{PQ} die Achse nicht schneidet, ist eine Sonderbehandlung nötig.

Eine zweite Konstruktion verwendet die Fixgerade \overline{PP'}: Die durch Q gezogene Parallele dazu schneidet a in Q_a und ist selbst eine Fixgerade. Daher ist Q' der Schnittpunkt von \overline{QQ_a} und \overline{SP'}.

Alle Affinitäten eines affinen Raumes A bilden unter Hintereinanderausführung eine Gruppe \mathcal{A}(K^n). Sie operiert auf Punkten, auf affinen Teilräumen jeder festen Dimension m mit 0\leq m\leq n und auf Richtungen, etwa Scharen paralleler Geraden. Auf affinen Punktbasen operiert sie scharf einfach transitiv: Für n+1 Punkte in allgemeiner Lage gibt es genau eine Affinität, welche die Standardbasis in vorgegebener Reihenfolge darauf abbildet.

Für n>1 ist \mathcal{A}(K^n) nichtkommutativ. Sie enthält \mathrm{GL}(n,K) als Untergruppe der Affinitäten mit festem Ursprung und die Translationen \mathcal{T}(K^n) als kommutativen Normalteiler. Es gilt \mathcal{T}(K^n)\cong(K^n,+), und die gesamte Gruppe ist ein inneres semidirektes Produkt von \mathcal{T}(K^n) und \mathrm{GL}(n,K). Sie kann außerdem als Untergruppe von \mathrm{GL}(n+1,K) und von \mathrm{PGL}(n,K) aufgefasst werden.

Hat K als endlicher Körper q Elemente, so ist \mathcal{A}(K^n) endlich mit

\lvert\mathcal{A}(K^n)\rvert=q^n\cdot\prod_{i=0}^{n-1}(q^n-q^i).

Der Faktor q^n ist die Ordnung der Translationsgruppe und zugleich der Index [\mathcal{A}(K^n):A_O]=q^n der Untergruppe A_O\cong\mathrm{GL}(n,K), welche den Ursprung festhält.