Satz von Euler (Geometrie)

Aussage und Bedeutung

Der Satz von Euler in der Geometrie beschreibt den Abstand d zwischen dem Umkreismittelpunkt U und dem Inkreismittelpunkt I eines Dreiecks. Der Umkreis ist der Kreis durch alle drei Eckpunkte; der Inkreis berührt alle drei Seiten.

Mit dem Umkreisradius R und dem Inkreisradius r gilt:

d = |UI| = √(R(R−2r))

beziehungsweise

d² = R(R−2r).

Eine äquivalente Darstellung lautet:

1/(R+d) + 1/(R−d) = 1/r.

Da d² nicht negativ sein kann, folgt unmittelbar die eulersche Ungleichung:

R ≥ 2r.

Beweisidee

Es seien U der Umkreismittelpunkt und I der Inkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Die Winkelhalbierende AI trifft den Umkreis in L. Die durch U und L verlaufende Mittelsenkrechte trifft den Umkreis ein zweites Mal in M. Außerdem ist D der Fußpunkt des Lotes von I auf AB, sodass ID = r gilt.

Die Dreiecke ADI und MBL stimmen in zwei Winkeln überein und sind deshalb ähnlich. Daraus folgt

ML · ID = AI · LB

und wegen ML = 2R sowie ID = r:

2Rr = AI · LB.

Mithilfe des Außenwinkelsatzes und des Umfangswinkelsatzes erhält man ∠BIL = ∠LBI. Das Dreieck IBL ist daher gleichschenklig, also LI = LB. Somit gilt

AI · LI = 2Rr.

Die Gerade UI schneidet den Umkreis in P und Q. Nach dem Sehnensatz ist

PI · QI = AI · LI = 2Rr.

Da PI und QI durch R und d ausgedrückt werden können, ergibt sich

(R+d)(R−d) = 2Rr.

Ausmultiplizieren und Umstellen liefert

R²−d² = 2Rr

und damit

d² = R²−2Rr = R(R−2r).

Verwandte Formeln und Verallgemeinerungen

Ist rₐ der Radius des zur Seite a gehörenden Ankreises und dₐ der Abstand zwischen dessen Mittelpunkt und dem Umkreismittelpunkt, so gilt die verwandte Formel

dₐ² = R(R+2rₐ).

Entsprechende Beziehungen gelten für die Ankreise der beiden anderen Seiten. Der Satz von Fuss liefert eine zum Satz von Euler analoge Aussage für Sehnentangentenvierecke. Die Egan-Vermutung verallgemeinert den Zusammenhang auf höhere Dimensionen.

Aussage in der absoluten Geometrie

Eine geometrische Form der eulerschen Ungleichung gilt auch in der absoluten Geometrie: Unter allen Dreiecken, die in einen gegebenen Kreis eingeschrieben sind, wird der größtmögliche Inkreisradius nur beim gleichseitigen Dreieck erreicht.

Historischer Hintergrund

Leonhard Euler publizierte den nach ihm benannten Satz 1765. Der englische Landvermesser William Chapple hatte dasselbe Ergebnis jedoch bereits 1746 in einer englischen Zeitschrift veröffentlicht.