Südpolsatz

Kernaussage und erweiterte Form

Der Südpolsatz ist ein Satz der Dreiecksgeometrie. In einem nicht-gleichschenkligen Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechte einer Seite und die Innenwinkelhalbierende durch die gegenüberliegende Ecke auf dem Umkreis. Dieser Schnittpunkt heißt Südpol.

Auch die Außenwinkelhalbierende durch diese Ecke schneidet die Mittelsenkrechte auf dem Umkreis; ihr Schnittpunkt heißt Nordpol. Beide Aussagen bilden den erweiterten Südpolsatz.

Eine Formulierung, die auch gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke einschließt, lautet: In jedem Dreieck verlaufen die Innenwinkelhalbierende und die Außenwinkelhalbierende jeweils durch einen der beiden Schnittpunkte der Mittelsenkrechten der dem Innenwinkel gegenüberliegenden Seite mit dem Umkreis. Die ausführliche Ausgangsform schließt diese Sonderfälle aus, weil Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende dort identisch sein können oder sind und deshalb keinen einzelnen Schnittpunkt besitzen.

Begründung am Beispiel der Seite AB

Betrachtet werden die Mittelsenkrechte m_c der Seite AB und die Winkelhalbierende w_γ des Winkels γ = ∠ACB. S ist der Schnittpunkt von m_c mit dem Umkreis, der auf der anderen Seite der Geraden AB liegt als die Ecke C.

Mit U als Umkreismittelpunkt ist ∠ACS halb so groß wie ∠AUS: ∠ACS ist ein Umfangswinkel (Peripheriewinkel), ∠AUS der zugehörige Mittelpunktswinkel (Zentriwinkel) über dem Kreisbogen AS. Ebenso ist ∠SCB halb so groß wie ∠SUB. Weil die Mittelsenkrechte Symmetrie erzeugt, sind ∠AUS und ∠SUB gleich groß. Daher gilt ∠ACS = ∠SCB. Die Strecke CS ist also die Winkelhalbierende bei C, und ihr Schnitt mit m_c liegt auf dem Umkreis.

Dies lässt sich auch über Sehnen begründen: Da S auf der Mittelsenkrechten von AB liegt, gilt AS = BS. Nach dem Umfangswinkelsatz sind die Winkel über gleich langen Sehnen gleich groß. Die Winkel bei C über den Sehnen AS und BS sind daher gleich groß; folglich halbiert CS den Winkel bei C.