Satz von Bolzano-Weierstraß

Kernaussage

Der Satz von Bolzano-Weierstraß ist ein grundlegender Satz der Analysis über die Existenz konvergenter Teilfolgen und von Häufungspunkten. Er trägt zu einem streng deduktiven Aufbau der Analysis bei.

Für reelle Zahlen sind folgende Formulierungen äquivalent:

• Jede beschränkte Folge reeller Zahlen enthält mindestens eine konvergente Teilfolge.
• Jede beschränkte Folge reeller Zahlen hat mindestens einen Häufungspunkt.
• Jede beschränkte unendliche Menge reeller Zahlen besitzt wenigstens einen Häufungspunkt. Dieser muss nicht selbst zur Menge gehören.

Eine Folge ist beschränkt, wenn ihre Glieder nicht beliebig groß oder klein werden. Ein Häufungspunkt ist ein Wert, in dessen jeder noch so kleinen Umgebung unendlich viele Folgenglieder liegen. Entsprechende Aussagen gelten für Folgen und Mengen komplexer Zahlen.

Konstruktion eines Häufungspunktes

Für eine beschränkte reelle Folge (x_n)_{n\in\mathbb N} gibt es eine untere Schranke s und eine obere Schranke S. Alle Folgenglieder liegen daher im ersten Intervall I_0=[s,S] mit der Länge l=S-s.

Dieses Intervall wird halbiert. Mindestens eines der beiden Teilintervalle enthält unendlich viele Folgenglieder; es wird I_1 genannt. Andernfalls könnten die beiden Teilintervalle zusammen nicht unendlich viele Glieder enthalten. Man halbiert anschließend I_1 und wählt wieder ein Teilintervall I_2, das unendlich viele Glieder enthält. So entsteht eine Intervallschachtelung; die Intervalllängen sind nacheinander l/2, l/4,\ldots.

Nach dem Intervallschachtelungsprinzip gibt es genau einen Punkt x, der in allen diesen Intervallen liegt. Zu jedem \varepsilon>0 kann man n so groß wählen, dass l/2^n<\varepsilon ist. Dann liegen I_n,I_{n+1},\ldots in der \varepsilon-Umgebung von x, und jedes dieser Intervalle enthält unendlich viele Folgenglieder. Damit enthält jede \varepsilon-Umgebung von x unendlich viele Glieder der Folge: x ist ein Häufungspunkt.

Beispiele und Bedeutung

Für a_n=\tfrac1n besitzt die beschränkte Folge (a_n)_{n\in\mathbb N} genau einen Häufungspunkt, nämlich 0. Die Folge b_n=(-1)^n+\tfrac1n ist ebenfalls beschränkt, hat aber zwei Häufungspunkte: 1 und -1.

Der Satz ermöglicht mehrere grundlegende Resultate der Analysis:

• Jede monotone und beschränkte Folge reeller Zahlen konvergiert (Monotoniekriterium).
• Eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen und beschränkten Intervall nimmt ein Maximum und ein Minimum an (Satz vom Minimum und Maximum).
• Jede reelle oder komplexe Cauchy-Folge konvergiert; dies ist die Rückrichtung des Cauchy-Kriteriums.

Endliche und unendliche Vektorräume

Im euklidischen Raum \mathbb R^n gilt die Verallgemeinerung: Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge. Dasselbe gilt für \mathbb C^n. Für eine Folge x_k=(x_{k1},\ldots,x_{kn}) wählt man dazu nacheinander Teilfolgen, die jeweils in einer weiteren Komponente konvergieren. Frühere Komponentenkonvergenzen bleiben erhalten, weil Teilfolgen konvergenter Folgen denselben Grenzwert haben. \mathbb C^n wird dabei mit \mathbb R^{2n} identifiziert.

In unendlichdimensionalen normierten Vektorräumen gilt die Aussage dagegen im Allgemeinen nicht. Im Folgenraum \ell_2(\mathbb R) mit l^2-Norm ist die Folge der Einheitsvektoren beschränkt, hat aber keinen Häufungspunkt: Der Abstand je zweier Folgenglieder beträgt \sqrt2. Allgemeiner lassen sich in jedem unendlichdimensionalen normierten Raum unendlich viele Vektoren der Länge 1 mit paarweisen Abständen von mindestens 1/2 konstruieren; dies folgt beispielsweise aus dem Lemma von Riesz.

Für beschränkte Folgen in reflexiven Räumen gibt es dennoch eine schwächere Aussage: Jede solche Folge besitzt nach dem Satz von Eberlein–Šmulian eine schwach konvergente Teilfolge. Zusammen mit Sobolev-Einbettungssätzen, insbesondere kompakten Einbettungen wie dem Rellich-Kondrachov-Theorem, hilft dies häufig beim Nachweis von Lösungen von Variationsproblemen.

Verallgemeinerung auf Räume

In metrischen Räumen wird Beschränktheit durch eine stärkere Voraussetzung ersetzt: Liegen die Glieder einer Folge (x_n)_{n\in\mathbb N} in einer kompakten Teilmenge K eines metrischen Raumes X, dann gibt es eine Teilfolge (x_{n_k})_{k\in\mathbb N}, die gegen einen Punkt x\in K konvergiert.

Der Satz ist eng mit dem Satz von Heine-Borel verbunden. Für topologische Räume lautet eine gemeinsame Verallgemeinerung: Ein topologischer Raum ist genau dann kompakt, wenn jedes Netz ein konvergentes Teilnetz besitzt. Ein Netz verallgemeinert dabei den Begriff der Folge für allgemeine topologische Räume.