Cauchy-Folge – einfach erklärt

Grundidee und Bedeutung

Eine Cauchy-Folge, auch Fundamentalfolge genannt, ist eine Folge, deren Folgenglieder im weiteren Verlauf beliebig nahe beieinander liegen. Sie ist für die Analysis grundlegend, weil sich Konvergenz damit beschreiben lässt, ohne einen Grenzwert vorher anzugeben.

Bei reellen Zahlen konvergiert jede Cauchy-Folge zu einer reellen Zahl. Bei rationalen Zahlen kann ihr Grenzwert dagegen irrational sein. Deshalb sind die reellen Zahlen ein vollständiger metrischer Raum: Ein metrischer Raum heißt genau dann vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert.

Definition für Zahlen

Eine reelle Folge (a_i)_{i\in\mathbb N} heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem \varepsilon>0 ein Index N existiert, sodass alle Folgenglieder ab diesem Index höchstens um \varepsilon voneinander abweichen:

$\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbb N\quad \forall m,n\geq N:\quad |a_m-a_n|<\varepsilon.$

Der Betrag |a_m-a_n| ist dabei der Abstand der beiden Zahlen. Statt m,n\geq N darf auch m,n>N stehen; statt <\varepsilon auch \leq\varepsilon. Gleichwertig ist: Zu jedem noch so kleinen \varepsilon>0 gibt es ein Intervall der Länge 2\varepsilon, in dem fast alle Folgenglieder liegen.

Typische Beispiele und rationale Zahlen

Die Folge a_i=\tfrac1i ist eine Cauchy-Folge. Für ein vorgegebenes \varepsilon>0 wählt man N>\tfrac1\varepsilon. Für n\geq m>N gilt dann

$|a_m-a_n|=\left|\frac1m-\frac1n\right|=\left|\frac{n-m}{mn}\right|<\frac{n}{mn}=\frac1m<\frac1N<\varepsilon.$

Dagegen ist a_i=i keine Cauchy-Folge. Bei \varepsilon=\tfrac12 kann man zu jedem N die Indizes n=N+1 und m=n+1 wählen. Dann ist |a_m-a_n|=|m-n|=1\geq\varepsilon.

Eine rationale Cauchy-Folge muss innerhalb von \mathbb Q keinen Grenzwert besitzen. Für a_1:=1 und a_{i+1}:=\frac{a_i}{2}+\frac1{a_i} entsteht eine Cauchy-Folge rationaler Zahlen mit Grenzwert \sqrt2. Da \sqrt2 irrational ist, konvergiert sie nicht in \mathbb Q. Solche fehlenden Grenzwerte führten zur Vervollständigung von \mathbb Q zu \mathbb R.

Metrische Räume und Vollständigkeit

In einem metrischen Raum (X,d) misst die Metrik d Abstände. Eine Folge (x_i)_{i\in\mathbb N} ist eine Cauchy-Folge, wenn

$\forall \varepsilon>0\quad \exists N\in\mathbb N\quad \forall m,n\geq N:\quad d(x_m,x_n)<\varepsilon.$

Geometrisch bedeutet dies: Zu jedem \varepsilon>0 gibt es einen Punkt a und ein N, sodass alle Folgenglieder ab x_N in der offenen Kugel B_\varepsilon(a) liegen. Anders als bei Konvergenz darf dieser Mittelpunkt a von \varepsilon abhängen.

Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Konvergiert (x_i) gegen x, so gilt ab einem Index N: d(x,x_n)<\tfrac\varepsilon2. Die Dreiecksungleichung liefert dann für m,n\geq N:

$d(x_m,x_n)\leq d(x_m,x)+d(x,x_n)<\tfrac\varepsilon2+\tfrac\varepsilon2=\varepsilon.$

Die Umkehrung gilt nur in vollständigen Räumen. Unvollständige metrische Räume lassen sich durch Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen vervollständigen. Zwei Cauchy-Folgen (x_i) und (y_i) sind äquivalent, wenn \forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\;\forall m,n\geq N:\ d(x_m,y_n)<\varepsilon, also gleichwertig \lim_{m,n\in\mathbb N}d(x_m,y_n)=0 gilt. Hat eine der Folgen einen Grenzwert in X, so hat auch die andere einen, und beide Grenzwerte sind gleich.