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Monotoniekriterium
Das Monotoniekriterium, auch Hauptkriterium oder Kriterium der monotonen Konvergenz, ist in der Mathematik ein wichtiges Konvergenzkriterium für Folgen und …
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Grundidee
Das Monotoniekriterium, auch Hauptkriterium oder Kriterium der monotonen Konvergenz, ist ein wichtiges Verfahren zum Nachweis der Konvergenz von Folgen und Reihen reeller Zahlen. Konvergenz bedeutet, dass sich die Werte einem festen Grenzwert beliebig stark annähern.
Das Kriterium verbindet zwei Eigenschaften: Monotonie und Beschränktheit. Eine Folge heißt monoton wachsend, wenn ihre Glieder nicht kleiner werden, und monoton fallend, wenn sie nicht größer werden. Nach oben beschränkt bedeutet, dass kein Folgenglied eine bestimmte reelle Zahl überschreitet; nach unten beschränkt bedeutet entsprechend, dass kein Folgenglied eine bestimmte Zahl unterschreitet.
Damit kann man zeigen, dass ein Grenzwert existiert, ohne seinen genauen Wert zu kennen. Dieselbe Grundidee wird auf Reihen angewendet, indem man die Folge ihrer Partialsummen betrachtet.
Regeln für Zahlenfolgen
Eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen konvergiert genau dann, wenn sie nach oben beschränkt ist. Entsprechend konvergiert eine monoton fallende Folge genau dann, wenn sie nach unten beschränkt ist.
Es genügt, dass die Monotonie und die Beschränktheit ab einem bestimmten Index gelten, denn endlich viele erste Folgenglieder beeinflussen das Konvergenzverhalten nicht. Gibt es für eine Folge (aₙ) einen Index N ∈ ℕ mit
aₙ ≤ aₙ₊₁ für alle n ≥ N
und eine reelle Zahl K mit
aₙ ≤ K für alle n ≥ N,
dann konvergiert die Folge. Für ihren Grenzwert gilt
limₙ→∞ aₙ ≤ K.
Im fallenden Fall muss für alle hinreichend großen Indizes aₙ ≥ aₙ₊₁ gelten und eine untere Schranke vorhanden sein. Der Grenzwert ist dann mindestens so groß wie diese untere Schranke.
Begründung des Folgekriteriums
Für eine ab dem Index N monoton wachsende und nach oben beschränkte Folge betrachtet man die Menge A = {aₙ | n ≥ N}. Da A beschränkt ist, besitzt sie ein Supremum a = sup A. Das Supremum ist die kleinste obere Schranke dieser Menge.
Für jedes ε > 0 kann a − ε keine obere Schranke von A sein. Deshalb existiert ein Index M ≥ N mit
a − ε < a_M ≤ a.
Wegen der Monotonie gilt dann für alle m > M:
a − ε < a_m ≤ a.
Somit ist |a_m − a| = a − a_m < ε. Nach der Definition der Konvergenz folgt aₙ → a. Die Folge konvergiert also gegen das Supremum fast aller ihrer Glieder.
Auch die Umkehrung gilt: Ist eine ab N monoton wachsende Folge konvergent mit Grenzwert a, kann kein späteres Folgenglied größer als a sein. Angenommen, es gäbe ein aₙ₀ > a. Wegen der Monotonie wäre dann aₙ ≥ aₙ₀ für alle n > n₀. Setzt man ε = aₙ₀ − a > 0, verlangt die Konvergenz für hinreichend große m jedoch a_m < a + ε = aₙ₀. Das ist ein Widerspruch. Daher ist die Folge ab N durch ihren Grenzwert a nach oben beschränkt.
Analog konvergiert eine monoton fallende, nach unten beschränkte Folge gegen das Infimum fast aller ihrer Glieder. Das Infimum ist die größte untere Schranke. Umgekehrt ist eine monoton fallende, konvergente Folge durch ihren Grenzwert nach unten beschränkt.
Typische Folgen und Einschließung
Für aₙ = n/(n+1) gilt
aₙ = n/(n+1) < (n+1)/(n+2) = aₙ₊₁.
Die Folge ist daher monoton wachsend. Außerdem gilt
aₙ = 1 − 1/(n+1) < 1
für alle n. Sie ist also nach oben durch 1 beschränkt und konvergiert nach dem Monotoniekriterium gegen einen Grenzwert mit limₙ→∞ aₙ ≤ 1. Das Beispiel zeigt zugleich: Obwohl jedes einzelne Folgenglied echt kleiner als eine Schranke ist, kann der Grenzwert gleich dieser Schranke sein.
In einer häufigen Anwendung vergleicht man eine monoton wachsende Folge (aₙ) mit einer monoton fallenden Folge (bₙ), wobei aₙ ≤ bₙ für alle n ≥ N gilt. Dann konvergieren beide Folgen, und
limₙ→∞ aₙ ≤ limₙ→∞ bₙ.
Bei der Definition der eulerschen Zahl verwendet man beispielsweise
aₙ = (1 + 1/n)ⁿ
als monoton wachsende Folge und
bₙ = (1 + 1/(n−1))ⁿ
als monoton fallende Folge. Da aₙ < bₙ gilt, konvergieren beide. Ist zusätzlich bₙ − aₙ eine Nullfolge, nähert sich ihre Differenz also dem Wert 0, liegt eine Intervallschachtelung vor. Dann stimmen die Grenzwerte überein:
limₙ→∞ aₙ = limₙ→∞ bₙ.
Übertragung auf unendliche Reihen
Eine Reihe mit nichtnegativen reellen Summanden konvergiert genau dann, wenn ihre Partialsummen nach oben beschränkt sind. Eine Partialsumme ist die endliche Summe der ersten n Reihenglieder:
sₙ = ∑ᵢ₌₁ⁿ aᵢ.
Es genügt, dass aᵢ ≥ 0 ab einem bestimmten Index N gilt. Ist zusätzlich sₙ ≤ K für eine reelle Schranke K, dann konvergiert die Reihe und
∑ᵢ₌₁∞ aᵢ = limₙ→∞ sₙ ≤ K.
Der Grund ist, dass aus aᵢ ≥ 0 folgt:
sₙ₊₁ = sₙ + aₙ₊₁ ≥ sₙ.
Die Partialsummenfolge ist somit ab N monoton wachsend. Ist sie nach oben beschränkt, konvergiert sie nach dem Kriterium für Folgen; damit konvergiert auch die Reihe. Analog konvergiert eine Reihe mit nichtpositiven Summanden genau dann, wenn ihre Partialsummen nach unten beschränkt sind. Eine Reihe, die diese Voraussetzungen erfüllt, ist sogar absolut konvergent.
Als Beispiel dient die Reihe
∑ᵢ₌₁∞ 1/i² = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + … .
Ihre Summanden sind nichtnegativ. Für i ≥ 2 gilt
1/(i−1) − 1/i = 1/(i²−i) > 1/i².
Daraus erhält man durch eine Teleskopsumme, bei der sich aufeinanderfolgende Terme gegenseitig aufheben,
sₙ = ∑ᵢ₌₁ⁿ 1/i² < 1 + ∑ᵢ₌₂ⁿ (1/(i−1) − 1/i) = 1 + (1 − 1/n) < 2.
Die Partialsummen sind also nach oben durch 2 beschränkt. Daher konvergiert die Reihe gegen einen Wert von höchstens 2. Ihr tatsächlicher Grenzwert ist π²/6 = 1,6449… .
