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Intervallschachtelung
Das Prinzip ist Folgendes: Man fängt mit einem beschränkten Intervall an und wählt aus diesem Intervall ein abgeschlossenes Intervall, das komplett in dem …
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Grundprinzip und Definition
Das Intervallschachtelungsprinzip ist ein wichtiges Hilfsmittel der Analysis und die Grundlage einiger numerischer Lösungsverfahren. Man beginnt mit einem beschränkten Intervall und wählt darin wiederholt ein abgeschlossenes Teilintervall. Ein abgeschlossenes Intervall [a_n,b_n] enthält seine beiden Randpunkte a_n und b_n. Wenn die Intervalle ineinanderliegen und ihre Längen gegen null gehen, gibt es genau eine reelle Zahl, die in allen Intervallen enthalten ist.
Formal seien (a_n) und (b_n) rationale oder reelle Zahlenfolgen. Dabei ist (a_n) monoton wachsend, also a_{n+1} ≥ a_n, und (b_n) monoton fallend, also b_{n+1} ≤ b_n. Außerdem gilt a_n ≤ b_n für alle n ∈ ℕ. Damit sind die Intervalle J_n := [a_n,b_n] ineinander geschachtelt.
Die Intervalllängen d_n = b_n − a_n müssen eine Nullfolge bilden: lim_{n→∞}(b_n−a_n)=0. Eine Nullfolge ist eine Folge, deren Werte gegen null konvergieren. Unter diesen Voraussetzungen heißt die Folge (J_n){n∈ℕ}, auch geschrieben als (a_n|b_n){n∈ℕ}, eine Intervallschachtelung.
Konstruktion der reellen Zahlen
Bei einer Intervallschachtelung mit rationalen Intervallgrenzen kann höchstens eine rationale Zahl s in allen Intervallen liegen. Sie müsste für jedes n ∈ ℕ die Bedingung a_n ≤ s ≤ b_n erfüllen. Zwei verschiedene solche Zahlen sind nicht möglich, weil ihr positiver Abstand irgendwann größer wäre als die gegen null gehende Intervalllänge.
Es gibt jedoch Intervallschachtelungen rationaler Zahlen, die keine rationale Zahl enthalten. Deshalb reicht die Menge ℚ der rationalen Zahlen für das Intervallschachtelungsprinzip nicht aus. Sie wird zur Menge ℝ der reellen Zahlen erweitert. Dazu legt man fest, dass jede Intervallschachtelung eine eindeutig bestimmte reelle Zahl σ := (J_n) definiert. Für den Schnitt aller Intervalle schreibt man: ⋂_{n∈ℕ} J_n = {σ ∈ ℝ}. Der Schnitt enthält also genau die eine reelle Zahl σ.
Die Gleichheit zweier so dargestellter reeller Zahlen wird über ihre Intervallschachtelungen definiert. Es gilt (a_n|b_n) = (a'_n|b'_n) genau dann, wenn für jedes n sowohl a_n ≤ b'_n als auch a'_n ≤ b_n gilt. Die jeweiligen Intervalle überlappen sich damit in jeder Stufe.
Auch Rechenoperationen können durch Operationen mit den Intervallgrenzen festgelegt werden. Beispielsweise ist die Summe definiert durch (a_n|b_n) + (a'_n|b'_n) = (a_n+a'_n|b_n+b'_n). Das auf diese Weise konstruierte Zahlensystem besitzt die gewünschte Vollständigkeit: Jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen enthält genau eine reelle Zahl.
Intervallschachtelungen sind nicht die einzige Konstruktion der reellen Zahlen. Weiter verbreitet ist die Konstruktion mithilfe von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen. Eine weitere Möglichkeit sind die Dedekindschen Schnitte.
Konvergenz der Intervallgrenzen
Definiert die Intervallschachtelung ([a_n,b_n]) die Zahl σ, dann konvergieren beide Folgen der Intervallgrenzen gegen dieselbe Zahl: lim_{n→∞} a_n = σ = lim_{n→∞} b_n. Die unteren Grenzen nähern sich σ monoton von unten, die oberen Grenzen monoton von oben.
Zum Beweis wählt man ein beliebiges ε > 0. Da d_n = b_n−a_n ≥ 0 eine Nullfolge ist, gibt es ein n_0, sodass d_n < ε für alle n > n_0 gilt. Zugleich liegt σ in jedem Intervall, also a_n ≤ σ ≤ b_n.
Für die obere Grenze folgt b_n = a_n+d_n ≤ σ+d_n < σ+ε. Da außerdem σ−ε < σ ≤ b_n gilt, liegt b_n in der ε-Umgebung U_ε(σ), also zwischen σ−ε und σ+ε.
Für die untere Grenze folgt entsprechend a_n = b_n−d_n ≥ σ−d_n > σ−ε. Wegen a_n ≤ σ < σ+ε liegt auch a_n in U_ε(σ). Somit befinden sich für alle n > n_0 beide Intervallgrenzen in jeder vorgegebenen ε-Umgebung von σ. Das beweist die Konvergenz beider Grenzfolgen gegen σ.
Anwendungen
Das Intervallschachtelungsprinzip wird sowohl für mathematische Beweise als auch für Näherungsverfahren verwendet. Mit ihm lassen sich der Zwischenwertsatz von Bolzano und der Satz von Bolzano-Weierstraß beweisen.
Außerdem beruht die Bisektion auf diesem Prinzip. Sie ist ein numerisches Verfahren, bei dem ein geeignetes Intervall wiederholt geteilt und jeweils ein kleineres Teilintervall ausgewählt wird. Dadurch entsteht eine Intervallschachtelung, deren Grenzen sich der gesuchten Zahl annähern.
