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Satz von Apollonios
Das der Ellipse umschriebene Parallelogramm aus konjugierten Durchmessern setzt sich aus 8 flächengleichen Dreiecken zusammen. Hieraus folgt die Letzte der …
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Kernaussagen über konjugierte Halbmesser
Der Satz von Apollonios ist ein Lehrsatz der Analytischen Geometrie über metrische, also messbare, Eigenschaften konjugierter Durch- und Halbmesser einer Ellipse in der euklidischen Ebene. Eine Ellipse E habe Haupt- und Nebenachsen der Längen 2a und 2b mit 2a,2b>0.
Der erste Satz von Apollonios besagt: Für jedes Paar konjugierter Halbmesser mit Längen c₁,c₂>0 ist die Summe ihrer Längenquadrate unveränderlich: c₁²+c₂²=a²+b². Dies gilt entsprechend auch für konjugierte Durchmesser.
Der zweite Satz von Apollonios betrifft die Fläche: Die beiden konjugierten Halbmesser spannen innerhalb der Ellipse ein Dreieck Δ auf. Unabhängig davon, welches Paar gewählt wird, besitzt es stets den Flächeninhalt F_Δ=(a·b)/2.
Gleichwertige Flächenformeln
Eine alternative Form des zweiten Satzes verwendet die Winkel α und β, welche die beiden konjugierten Halbmesser jeweils mit der Hauptachse einschließen. Für die spitzen Winkel gilt: c₁·c₂·sin(α+β)=a·b.
Da die Dreiecksfläche auch durch die Hälfte des Produkts zweier Seiten und des Sinus ihres eingeschlossenen Winkels beschrieben werden kann, führt diese Gleichung wieder zu F_Δ=(a·b)/2.
Eine weitere Fassung betrachtet das der Ellipse zu einem Paar konjugierter Durchmesser umbeschriebene Parallelogramm Π. Seine Seiten sind jeweils parallel zu einem der beiden konjugierten Durchmesser. Sein Flächeninhalt ist ebenfalls unabhängig vom gewählten Paar und beträgt F_Π=4·a·b.
Begründung mit der Parameterdarstellung
Die Ellipse kann parametrisch beschrieben werden durch x(t)=a cos t, y(t)=b sin t. Sie entsteht dabei als affines Bild des Einheitskreises (cos t,sin t) für 0≤t<2π. Bilder orthogonaler Halbmesser des Einheitskreises liefern konjugierte Punkte der Ellipse.
Zu einem Halbmesservektor c⃗₁=(a cos t,b sin t)ᵀ gehört der konjugierte Vektor c⃗₂=(-a sin t,b cos t)ᵀ. Mit den Additionstheoremen ergibt sich |c⃗₁|²+|c⃗₂|²=a² cos²t+b² sin²t+a² sin²t+b² cos²t=a²+b². Damit ist die erste Aussage bewiesen.
Die Determinante der beiden Vektoren liefert die Dreiecksfläche: F_Δ=½ det(c⃗₁,c⃗₂)=½ab=½c₁c₂ sin(α+β). Daraus folgen sowohl F_Δ=(a·b)/2 als auch c₁c₂ sin(α+β)=ab. Das umschriebene Parallelogramm besteht aus acht flächengleichen solchen Dreiecken; daher hat es die Fläche 4·a·b.
Flächen durch achsenaffine Transformation
Die Flächenformeln lassen sich mit schulmathematischen Mitteln über eine lineare Transformation verstehen. Man betrachtet die Ellipse als kompaktes Flächenstück, das aus der abgeschlossenen Kreisscheibe mit Radius a um den Ursprung durch die Transformation T: (x,y)ᵀ ↦ (x,(b/a)y)ᵀ entsteht. Die zugehörige Matrix ist [[1,0],[0,b/a]]. T ist ein Homöomorphismus, also eine stetige, umkehrbar stetige Abbildung der Ebene auf sich selbst.
Nach dem Transformationssatz für Flächen wird jeder Flächeninhalt mit dem Faktor der Determinante b/a verändert: F_T(A)=(b/a)·F_A. Ein rechtwinkliges Dreieck der Ausgangskreisscheibe mit Fläche a²/2 wird daher zu einem Dreieck mit F_Δ=(b/a)·(a²/2)=(a·b)/2. Entsprechend wird aus der Fläche 4a² des zugehörigen Parallelogramms die Fläche F_Π=4·a·b. Für die gesamte Ellipse folgt F_E=(b/a)·(πa²)=π·a·b.