Quadratzahl

Definition und Grundidee

Eine Quadratzahl oder Viereckszahl ist eine Zahl, die entsteht, wenn man eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert, also quadriert. Allgemein hat sie die Form a² = a · a. Zum Beispiel ist 144 = 12 · 12 eine Quadratzahl. Die ersten Quadratzahlen sind 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 und 144. Einige Mathematiker zählen die 0 nicht zu den Quadratzahlen und beginnen die Folge daher mit 1.

Der Name hängt mit der geometrischen Darstellung zusammen: Legt man Steine zu einem Quadrat, ist ihre Anzahl immer eine Quadratzahl. Mit 16 Steinen kann man zum Beispiel ein Quadrat mit Seitenlänge 4 legen. Weil Quadratzahlen mit einer geometrischen Figur verbunden sind, gehören sie zu den figurierten Zahlen. Dazu zählen auch Dreieckszahlen und Kubikzahlen. Quadratzahlen gehören außerdem zu den Polygonalzahlen.

Wichtige Eigenschaften und Bildungsregeln

Eine Quadratzahl a² ist genau dann gerade, wenn ihre Basis a gerade ist. Allgemeiner gilt: Eine Quadratzahl a² ist genau dann durch eine Primzahl p teilbar, wenn ihre Basis a durch p teilbar ist.

Die Folge der Quadratzahlen kann rekursiv beschrieben werden. Für Qₙ gilt: Q₁ = 1 als Anfang, und für die folgenden Glieder Qₙ = Qₙ₋₁ + 2 · n - 1. Das bedeutet: Von einer Quadratzahl zur nächsten addiert man jeweils die nächste ungerade Zahl.

Dazu passt die wichtige Formel: Für alle n ∈ ℕ gilt n² = ∑ᵢ₌₁ⁿ(2i - 1) = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1). Jede Quadratzahl ist also die Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen. Beispiele sind 1 = 1², 1 + 3 = 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3² und 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4². Geometrisch sieht man das daran, dass beim Vergrößern eines Quadrats jeweils eine neue Reihe und eine neue Spalte hinzukommen; der Unterschied zur vorherigen Quadratzahl ist daher immer ungerade.

Eine weitere Darstellung lautet: n² = 2 · ∑ᵢ₌₁ⁿ⁻¹ i + n. Geometrisch kann man das als Quadrat aus n² Kugeln sehen: Auf einer Diagonale liegen n Kugeln, auf beiden Seiten der Diagonale jeweils 1 + 2 + 3 + ... + (n - 1) Kugeln.

Geometrische Konstruktion und Rechentricks

Der Wert a² kann auf einer Zahlengeraden mit Zirkel und Lineal konstruiert werden, wenn a eine reelle Zahl ist und der Exponent 2 eine positive ganze Zahl. Dabei unterscheidet man, ob die Basis a größer oder kleiner als 1 ist.

Für eine Basis a > 1 zieht man auf der Zahlengeraden einen Kreisbogen mit Mittelpunkt A = 0 und Radius a = AB. Dann bestimmt man im Abstand 1 von A einen Punkt und errichtet dort eine Senkrechte, bis sie den Kreisbogen in B schneidet. Anschließend errichtet man in B eine Senkrechte zur Basis AB, bis sie die Zahlengerade im Punkt AB² schneidet.

Für eine Basis a < 1 bestimmt man die Basis a als Strecke AB mit B = 0. Ab B wird die Strecke B1 der Länge 1 konstruiert und darüber ein Halbkreis gezeichnet. Ein Kreisbogen um B mit Radius AB schneidet den Halbkreis in C. Das Lot von C auf die Zahlengerade liefert als Fußpunkt die Quadratzahl AB².

Für das schnelle Berechnen von Quadraten bis 75 gibt es einen Trick, wenn man die Quadrate von 1 bis 25 kennt. Für k zwischen 26 und 75 berechnet man zuerst den Abstand zu 25 und multipliziert ihn mit 100. Dann nimmt man den Abstand zu 50, quadriert ihn und addiert ihn. Beispiel: 47²: 47 - 25 = 22, also 22 · 100 = 2200; 50 - 47 = 3, also 3² = 9; damit 47² = 2200 + 9 = 2209. Der Beweis ist (k - 25) · 100 + (50 - k)² = k².

Für Zahlen mit Einerziffer 5 gibt es ebenfalls einen Kopfrechentrick. Eine solche Zahl hat die Form 10 · k + 5. Man multipliziert die Zahl ohne die Endziffer 5 mit ihrem Nachfolger und hängt 25 an. Beispiel: 65²: 6 · 7 = 42, also 65² = 4225. Allgemein gilt [a]5² = [a · (a + 1)]25, denn (10 · k + 5)² = 100k² + 100k + 25 = k(k + 1) · 10² + 25.

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen

Jede Quadratzahl lässt sich als Summe zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen darstellen. Dreieckszahlen sind figurierte Zahlen, die sich als dreieckiges Punktmuster legen lassen. Für Quadratzahlen gilt n² = n(n - 1)/2 + (n + 1)n/2 = Δₙ₋₁ + Δₙ. Zum Beispiel ist 25 die Summe der Dreieckszahlen Δ₄ = 10 und Δ₅ = 15.

Jede ungerade Quadratzahl lässt sich außerdem als Nachfolger einer 8-fachen Dreieckszahl darstellen: (2n + 1)² = 8Δₙ + 1. Dabei ist Δₙ = n(n + 1)/2.

Es gibt auch zentrierte Quadratzahlen. Sie entstehen, wenn um einen Stein in der Mitte weitere Quadrate gelegt werden. Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen. Der Term 2n² + 2n + 1 lässt sich mit der binomischen Formel umformen zu n² + (n + 1)².

Die Summe der ersten n Quadratzahlen ergibt die n-te Pyramidenzahl: ∑ᵢ₌₁ⁿ i² = 1² + 2² + 3² + ... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6.

Endziffern, Restklassen und Teiler

Quadratzahlen enden nie auf 2, 3, 7 oder 8. Ist y die letzte Ziffer einer Zahl a = 10x + y, dann gilt a² = 100x² + 20xy + y². Die letzte Ziffer von a² hängt also nur von y² ab. Die Quadrate der Ziffern 0 bis 9 sind 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 und 81; keine davon endet auf 2, 3, 7 oder 8.

Bei den letzten beiden Ziffern gibt es eine Symmetrie um die Basis 25: Zum Beispiel haben 24² = 576 und 26² = 676 dieselben letzten beiden Ziffern, ebenso 23² = 529 und 27² = 729. Allgemein gilt (25 + a)² - (25 - a)² = 100a. Die Differenz ist also ein Vielfaches von 100, daher sind die letzten beiden Ziffern gleich.

In der Sprache der Restklassen bedeutet die Endziffernregel: Quadratzahlen haben modulo 10 nur die Restklassen 0, 1, 4, 5, 6 und 9. Auch für andere Moduln treten nur bestimmte Restklassen auf. Modulo 11 sind die möglichen Restklassen 0, 1, 3, 4, 5 und 9. Modulo 3 und modulo 4 sind es jeweils 0 und 1; modulo 8 sind es 0, 1 und 4. Solche Untersuchungen heißen Untersuchungen über quadratische Reste und sind wichtig in der elementaren Zahlentheorie.

Nur Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Der Grund ist, dass Teiler normalerweise paarweise auftreten: Zu einem Teiler d gehört n/d. Nur bei einer Quadratzahl fällt ein Teiler mit seinem Partner zusammen, nämlich √n. Dadurch wird die Gesamtzahl der Teiler ungerade.

Summen und Kehrwerte

Die Summe der Kehrwerte aller positiven Quadratzahlen ist ∑ₙ₌₁∞ 1/n² = 1/1² + 1/2² + 1/3² + ... = π²/6. Lange war unbekannt, ob diese Reihe konvergiert und welchen Grenzwert sie hat. Leonhard Euler fand im Jahr 1735 den Wert π²/6.

Für zwei aufeinanderfolgende Quadratzahlen gilt mit der Dreieckszahl die Identität n² + (n + 1)² = 4 · Δₙ + 1.

Es gibt außerdem besondere Beziehungen zwischen Summen aufeinanderfolgender Quadratzahlen. Beispiele sind 3² + 4² = 5², 10² + 11² + 12² = 13² + 14², 21² + 22² + 23² + 24² = 25² + 26² + 27² und 36² + 37² + 38² + 39² + 40² = 41² + 42² + 43² + 44². Allgemein gilt: ∑ₖ₌₂ₙ²₊ₙ²ⁿ²⁺²ⁿ k² = ∑ₖ₌₂ₙ²₊₂ₙ₊₁²ⁿ²⁺³ⁿ k² = [n(n + 1)(2n + 1)/6] · (12n² + 12n + 1).

Manche Primzahlen lassen sich als Summe von zwei, drei oder sechs aufeinanderfolgenden Quadraten schreiben; andere Anzahlen an Summanden sind nicht möglich. Beispiele sind 1² + 2² = 5, 2² + 3² + 4² = 29 und 2² + 3² + 4² + 5² + 6² + 7² = 139.