Halbkreis

Begriff und grundlegende Eigenschaften

Ein Halbkreis ist die eindimensionale Punktmenge, die eine Hälfte eines Kreises bildet. Sein Innenwinkel beträgt 180° beziehungsweise π Radiant. Daher ist ein Halbkreis nur entlang einer Achse symmetrisch.

Davon zu unterscheiden ist die Hälfte einer Kreisscheibe. Sie ist eine zweidimensionale Form und umfasst neben dem Halbkreis als Rand auch den Durchmesser und alle eingeschlossenen Punkte.

Der Satz des Thales beschreibt eine wichtige Eigenschaft: Liegen zwei Ecken eines Dreiecks auf den Endpunkten eines Halbkreises und die dritte Ecke an einer beliebigen Stelle auf dem Halbkreis, dann ist das Dreieck am dritten Eckpunkt rechtwinklig. Alle Geraden, die einen Halbkreis orthogonal, also im rechten Winkel, schneiden, sind kopunktal und besitzen somit einen gemeinsamen Schnittpunkt.

Mathematische Beschreibung

Ein Halbkreis mit Radius r und Mittelpunkt (x₀,y₀), der vollständig oberhalb der Geraden y=y₀ liegt, wird durch

y=y₀+√(r²−(x−x₀)²)

beschrieben.

Der entsprechende Halbkreis unterhalb der Geraden y=y₀ wird durch

y=y₀−√(r²−(x−x₀)²)

dargestellt. Die beiden Gleichungen unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen vor der Quadratwurzel: Das Pluszeichen beschreibt die obere, das Minuszeichen die untere Hälfte des Kreises.

Konstruktionen und Mittelwerte

Mit Zirkel und Lineal kann ein Halbkreis genutzt werden, um das arithmetische und das geometrische Mittel zweier Längen a und b zu konstruieren. Dazu wird ein Halbkreis mit dem Durchmesser d=a+b gezeichnet. Sein Radius r entspricht dem arithmetischen Mittel der beiden Längen, also r=(a+b)/2.

Für das geometrische Mittel wird erneut ein Halbkreis mit dem Durchmesser d=a+b verwendet. Am Punkt, an dem die Strecken a und b zusammentreffen, wird eine Orthogonale zum Durchmesser konstruiert. Die Strecke von diesem Punkt bis zum Schnittpunkt mit dem Halbkreis ergibt das geometrische Mittel von a und b. Diese Eigenschaft kann mit dem Satz des Pythagoras bewiesen werden.

Halbkreise werden außerdem bei der Quadratur des Rechtecks verwendet, also bei der Bestimmung der Fläche eines Rechtecks. Ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b und ein Quadrat mit der Seitenlänge des geometrischen Mittels aus a und b besitzen denselben Flächeninhalt. Für beliebige Formen außer dem Kreis, zu denen sich ein flächengleiches Rechteck konstruieren lässt, kann auf diese Weise ebenfalls der Flächeninhalt bestimmt werden. Der Halbkreis wird außerdem für den Beweis des Satzes des Thales benötigt.

Weitere geometrische Figuren und Bauformen

Viele geometrische Figuren aus Archimedes’ Buch der Lemmata beruhen auf Kreis- und Halbkreiskonstruktionen. Ein Arbelos ist die von drei Halbkreisen eingeschlossene Fläche. Die drei Halbkreise liegen auf derselben Seite einer geraden Linie und sind nur an ihren Endpunkten miteinander verbunden.

Das Salinon ist eine spiegelsymmetrische geometrische Figur, die aus vier Halbkreisen besteht.

Halbkreisförmige Bauteile kommen in der romanischen Architektur als Apsiden vor. Auch moderne Kirchenbauten können auf einem halbkreisförmigen Grundriss errichtet sein, beispielsweise die Víðistaðakirkja in Hafnarfjörður und St. Pius in Schippach.