Satz von Stokes

Grundidee und allgemeiner Satz

Der Satz von Stokes ist ein grundlegender Satz der Differentialgeometrie über die Integration von Differentialformen. Er verallgemeinert den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ein Integral über das Innere eines n-dimensionalen Bereichs wird in ein Integral über seinen (n−1)-dimensionalen Rand umgewandelt. Damit verbindet der Satz Analysis mit algebraischer Topologie und ist grundlegend für den Satz von de Rham.

Sei M eine orientierte n-dimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit mit abschnittsweise glattem Rand ∂M; der Rand erhält dabei eine induzierte Orientierung. Sei außerdem ω eine stetig differenzierbare Differentialform vom Grad n−1 auf M oder einer genügend großen offenen Umgebung. Dann gilt

∫M dω = ∫∂M ω.

Dabei ist d die Cartan-Ableitung beziehungsweise äußere Ableitung. Das rechte Integral ist ein Oberflächenintegral oder, allgemeiner, ein Integral über die Randmannigfaltigkeit ∂M. Die Formel drückt aus, dass die äußere Ableitung d zur topologischen Randoperation ∂M in Beziehung steht.

Schreibt man ω = ∑{i=1}^{n} f_i ω_i mit (n−1)-dimensionalen Basisformen ω_i, so lautet die äußere Ableitung konkret dω ≡ ∑{k,i=1}^{n} (∂f_i/∂x_k) dx_k ∧ ω_i. Das äußere Produkt ∧ ist antisymmetrisch, zum Beispiel −dx_k ∧ dx_i = dx_i ∧ dx_k. Bei einem Normalgebiet kann man den Bereich in vertikale Streifen zerlegen; Beiträge der inneren Begrenzungen heben sich auf, während die obere und untere Begrenzung mit entgegengesetzten Vorzeichen beitragen.

Folgerungen und mathematische Bedeutung

Ist U ⊂ ℝ^n offen, ω eine stetig differenzierbare (k−1)-Form in U und M ⊂ U eine orientierte kompakte randlose k-dimensionale Untermannigfaltigkeit, dann folgt aus dem Satz von Stokes

∫_M dω = 0.

Ohne Rand gibt es also kein Randintegral, das dem Integral der äußeren Ableitung entsprechen könnte.

Der Satz enthält insbesondere den Gaußschen Integralsatz und den klassischen Satz von Stokes, die in Physik und Elektrotechnik etwa bei integrierten Formen der Maxwell-Gleichungen verwendet werden. Außerdem schafft er einen Zugang zur algebraischen Topologie: Zwei Wege W₁ und W₂ mit demselben Anfangs- und Endpunkt werden in diesem Zusammenhang als topologisch homolog beschrieben, wenn für bestimmte einstufige Differentialformen ω das Kurvenintegral ∮_{W₁−W₂} ω verschwindet. Höherdimensionale Fassungen führen zu entsprechenden topologischen Begriffen.

Fassung für Ketten und De-Rham-Kohomologie

Für einen glatten p-Simplex σ: Δ_p → M und eine glatte Differentialform ω wird das Integral über σ durch den Rücktransport σ*ω definiert:

∫_σ ω = ∫_Δp σ*ω.

Für p = 1 ist dies das gewöhnliche Kurvenintegral. Für eine glatte p-Kette c = ∑_{i=1}^{k} c_i σ_i gilt entsprechend

∫c ω := ∑{i=1}^{k} c_i ∫σi ω = ∑{i=1}^{k} c_i ∫_Δp σ_i*ω.

Der Stokes-Satz für Ketten lautet für eine glatte p-Kette c und eine glatte (p−1)-Differentialform ω:

∫_∂c ω = ∫_c dω.

Hier bezeichnet ∂: C_p → C_{p−1} den Randoperator des singulären Komplexes.

Damit ist die Abbildung J: H_dR^p(M) → Hom(H_p^sing(M), ℝ), ω ↦ (c ↦ ∫_c ω), wohldefiniert. Unterscheiden sich zwei Repräsentanten derselben Homologieklasse durch c₁−c₂ = ∂b, so gilt für eine geschlossene Form mit dω = 0:

∫_c₁ ω − ∫c₂ ω = ∫∂b ω = ∫_b dω = 0.

Für eine exakte Form ω = dν ist zudem ∫_c ω = ∫c dν = ∫∂c ν = 0. Nach dem zentralen Satz von de Rham ist J sogar ein Isomorphismus.

Warum innere Ränder verschwinden

Das zugrunde liegende topologische Prinzip lässt sich an einer orientierten Pflasterung eines Flächenstücks verstehen. Teilt man die Fläche in gleich orientierte kleine Stücke, so wird jede gemeinsame innere Kante von zwei benachbarten Stücken in entgegengesetzter Richtung durchlaufen. Die beiden Beiträge zum Linienintegral heben sich daher auf. Übrig bleibt ausschließlich die äußere Randkurve.

Daher genügt es, Integralsätze zunächst für kleine Flächen- oder Volumenstücke zu beweisen und die Stücke anschließend zusammenzusetzen. Bei ausreichend feiner Pflasterung wird dieses Prinzip fast elementar sichtbar.

Wichtige Spezialfälle

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist der eindimensionale Spezialfall. Für eine stetig differenzierbare Funktion f: [a,b] → ℝ gilt

∫_a^b df(x) = ∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a).

Der Gaußsche Integralsatz gilt für eine kompakte Teilmenge V von ℝ^n und ein n-dimensionales Vektorfeld F:

∫V div F dV = ∮∂V ⟨F,ν⟩ dS.

ν ist der n-dimensionale Normalen-Einheitsvektor; div F kann auch als ∇ · F geschrieben werden. Der Satz setzt das Integral der Divergenz, also einer lokalen Quell- oder Senkenbeschreibung des Feldes, mit dem Fluss durch den Rand in Beziehung. Er kann auch zur koordinatenunabhängigen Definition der Divergenz dienen.

Der klassische Integralsatz von Stokes, auch Satz von Kelvin-Stokes oder Rotationssatz, betrifft ein einmal stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einer offenen Teilmenge V ⊂ ℝ³ und eine orientierte reguläre Fläche Σ mit Einheitsnormalenfeld ν. Für die geschlossene Randkurve ∂Σ mit Tangenteneinheitsvektor τ gilt

∫Σ ⟨rot F,ν⟩ dS = ∮∂Σ ⟨F,τ⟩ ds.

Er setzt also das Flächenintegral der Rotation rot F mit dem Kurvenintegral der Tangentialkomponente von F gleich. In der Schreibweise der Anwendungen lautet dies ∬Σ rot(F) · d⃗S = ∮∂Σ F · dr, mit d⃗S = ν dS und dr = τ ds. Bei einer flachen Fläche ist in geeigneten Koordinaten dS ≡ dx dy.

Für ein flaches Normalgebiet Σ, F = (v₁,v₂,0) und ν = (0,0,1) ist ⟨rot F,ν⟩ = ∂v₂/∂x − ∂v₁/∂y. Damit folgt

∮_∂Σ ⟨F,τ⟩ ds = ∬_Σ (∂v₂/∂x − ∂v₁/∂y) dx dy.

Dieses Beispiel zeigt, dass der Satz von Green ein Spezialfall des Stokes’schen Integralsatzes ist.