Kugelkoordinaten

Grundidee und Definition

Kugelkoordinaten, auch räumliche Polarkoordinaten genannt, beschreiben einen Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum durch seinen Abstand vom Ursprung und zwei Winkel. Sie sind orthogonale Koordinaten und verallgemeinern die ebenen Polarkoordinaten, ähnlich wie Zylinderkoordinaten. Für Punkte auf einer Kugeloberfläche ist der Abstand vom Mittelpunkt konstant; dann variieren nur die beiden Winkel. Diese werden als sphärische Koordinaten oder Kugelflächenkoordinaten bezeichnet.

Ein Kugelkoordinatensystem wird durch ein Zentrum O, eine gerichtete Gerade durch O als Polachse sowie eine Bezugsrichtung in der dazu senkrechten Äquatorebene festgelegt. Üblicherweise fallen O, die z-Achse, die x-y-Ebene und die x-Achse mit diesen Festlegungen zusammen.

Ein Punkt P wird durch (r, θ, φ) beziehungsweise (ρ, ϑ, φ) beschrieben:

• r oder ρ ist der Radius, also der Abstand von P zum Zentrum O.
• θ oder ϑ ist der Polarwinkel beziehungsweise Zenitwinkel zwischen Polrichtung und OP. Er wird von 0 bis π (0° bis 180°) gemessen.
• φ ist der Azimut- oder Azimutalwinkel zwischen der Bezugsrichtung und der Projektion von OP auf die Äquatorebene. Er wird gegen den Uhrzeigersinn entweder von −π bis π (−180° bis 180°) oder von 0 bis 2π (0° bis 360°) gemessen.

Die Umrechnung in kartesische Koordinaten lautet:

x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ.

Für eine eindeutige Darstellung beschränkt man gewöhnlich r auf nichtnegative Werte, θ auf [0, π] und φ entweder auf (−π, π] oder auf [0, 2π). Auf der z-Achse ist φ dennoch beliebig; im Ursprung ist zusätzlich θ beliebig. Man kann für Punkte auf der z-Achse φ = 0 und für den Ursprung zusätzlich θ = 0 festlegen.

Für Punkte außerhalb dieser ausgearteten Fälle gilt die Rückrechnung:

r = √(x² + y² + z²), θ = arccos(z/r), φ = arctan2(x,y).

Die im Artikel verwendete arctan2-Funktion liefert einen Winkel im Bogenmaß zwischen −π und π. Ihre Fallunterscheidung ist: arctan2(x,y) = arctan(y/x) für x > 0; arctan2(x,y) = (π/2) sgn y für x = 0; arctan(y/x) + π für x < 0 und y ≥ 0; sowie arctan(y/x) − π für x < 0 und y < 0.

In manchen Darstellungen, besonders in amerikanischer Literatur, werden θ und φ vertauscht. Wird φ als geographische Breite verwendet, gilt die alternative Darstellung x = r cos φ cos φ, y = r cos φ sin φ, z = r sin φ; dabei ist φ = 90° − θ beziehungsweise θ = 90° − φ. Der Azimut kann mit der geographischen Länge λ gleichgesetzt werden. Die Rückrechnung lautet dann r = √(x² + y² + z²), φ = arcsin(z/r) und φ = arctan2(x,y), wobei die unterschiedlichen Winkelbezeichnungen der jeweiligen Konvention zu beachten sind.

Anwendungen und geometrische Struktur

Kugelkoordinaten sind besonders nützlich bei Systemen, die rotationssymmetrisch bezüglich eines Punktes sind. Beispiele sind Volumenintegrale über Kugeln sowie rotationssymmetrische Kraftfelder, etwa das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Himmelskörpers oder das elektrische Feld einer Punktladung beziehungsweise einer geladenen Kugel. In solchen Fällen hängen die betrachteten Größen oft nicht von den Winkelkoordinaten ab. Dadurch werden die Rechnungen einfacher. Auch die Laplace-Gleichung und die Helmholtzgleichung können in Kugelkoordinaten durch Separation der Variablen gelöst werden.

Aus dem Ortsvektor

r⃗ = (x,y,z)ᵀ = (r sin θ cos φ, r sin θ sin φ, r cos θ)ᵀ

entstehen Koordinatenlinien, indem zwei Koordinaten festgehalten und die dritte verändert wird. Durch den Punkt (r₀, θ₀, φ₀) erhält man:

• Für veränderliches r: eine Halbgerade mit Anfang im Ursprung.
• Für veränderliches θ: einen Halbkreis beziehungsweise Meridian mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius r₀.
• Für veränderliches φ: einen Breitenkreis senkrecht zur z-Achse mit Radius r₀ sin θ₀.

Die Koordinatenflächen entstehen, wenn eine Koordinate festgehalten wird:

• r = r₀ ergibt eine Kugelfläche mit Mittelpunkt im Ursprung.
• θ = θ₀ ergibt eine Kegeloberfläche mit Spitze im Ursprung und der Polachse als Kegelachse. Für θ₀ = π/2 wird sie zur Äquatorebene; für θ₀ = 0 beziehungsweise θ₀ = π entartet sie zu einer Geraden durch Nord- beziehungsweise Südpol.
• φ = φ₀ ergibt eine Halbebene mit der Polachse als Rand.

Zwei verschiedene Koordinatenflächen durch einen Punkt schneiden sich in einer Koordinatenlinie. Diese Strukturen helfen bei der Bestimmung lokaler Basisvektoren. Kovarianten Basisvektoren sind tangential zu den Koordinatenlinien, kontravariante Basisvektoren stehen senkrecht auf den Koordinatenflächen.

Jacobi-Matrix, Elemente und Metrik

Die lokalen Eigenschaften der Transformation beschreibt die Jacobi-Matrix J = ∂(x,y,z)/∂(r,θ,φ):

J = [[sin θ cos φ, r cos θ cos φ, −r sin θ sin φ], [sin θ sin φ, r cos θ sin φ, r sin θ cos φ], [cos θ, −r sin θ, 0]].

Ihre Funktionaldeterminante ist det J = r² sin θ. Die inverse Matrix beschreibt die Rücktransformation:

J⁻¹ = [[sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ], [(cos θ cos φ)/r, (cos θ sin φ)/r, −sin θ/r], [−sin φ/(r sin θ), cos φ/(r sin θ), 0]].

Die Nenner r und sin θ zeigen erneut die Singularitäten bei r = 0 sowie bei θ = 0 und θ = π. Für Differentiale gilt

(dx,dy,dz)ᵀ = J (dr,dθ,dφ)ᵀ

und umgekehrt

(dr,dθ,dφ)ᵀ = J⁻¹ (dx,dy,dz)ᵀ.

Aus der Determinante folgen das Volumen- und Flächenelement:

dV = dx dy dz = r² sin θ dφ dθ dr,

dA = r² sin θ dφ dθ

für eine Sphäre mit Radius r. Das Linienelement lautet

ds² = dx² + dy² + dz² = dr² + r² dθ² + r² sin² θ dφ².

Das Fehlen gemischter Terme zeigt, dass der metrische Tensor diagonal ist:

g = JᵀJ = diag(1, r², r² sin² θ).

Er ist das Quadrat der Diagonalmatrix h = diag(1, r, r sin θ). Die Jacobi-Matrix kann als J = S h geschrieben werden. Dabei ist S die orthogonale Rotationsmatrix

S = [[sin θ cos φ, cos θ cos φ, −sin φ], [sin θ sin φ, cos θ sin φ, cos φ], [cos θ, −sin θ, 0]].

Basis, Vektorfelder und Differentialoperatoren

Die ortsabhängige orthonormale Basis besteht aus den Einheitsvektoren eᵣ, eθ und eφ:

eᵣ = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ)ᵀ, eθ = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, −sin θ)ᵀ, eφ = (−sin φ, cos φ, 0)ᵀ.

Sie bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Die Richtungen heißen radial, meridional und azimutal. Mit der Rotationsmatrix gilt (eᵣ,eθ,eφ) = (eₓ,eᵧ,e𝓏) · S; wegen S⁻¹ = Sᵀ folgt für die Gegenrichtung die Transponierte.

Ein Vektor ist unabhängig vom Koordinatensystem. Für ein Vektorfeld A gilt daher

Aₓeₓ + Aᵧeᵧ + A𝓏e𝓏 = Aᵣeᵣ + Aθeθ + Aφeφ,

beziehungsweise (Aₓ,Aᵧ,A𝓏)ᵀ = S(Aᵣ,Aθ,Aφ)ᵀ und (Aᵣ,Aθ,Aφ)ᵀ = Sᵀ(Aₓ,Aᵧ,A𝓏)ᵀ.

Die partiellen Ableitungen transformieren sich mit J, jedoch ohne Normierung:

(∂/∂r, ∂/∂θ, ∂/∂φ) = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) · J.

Der Nabla-Operator lautet in Kugelkoordinaten:

∇ = eᵣ ∂/∂r + eθ (1/r) ∂/∂θ + eφ (1/(r sin θ)) ∂/∂φ.

Für ein Skalarfeld liefert diese Form unmittelbar den Gradienten. Für ein Vektorfeld A ergeben sich Divergenz und Rotation zu

∇·A = (1/r²) ∂(r²Aᵣ)/∂r + (1/(r sin θ)) ∂(sin θ Aθ)/∂θ + (1/(r sin θ)) ∂Aφ/∂φ,

∇×A = [1/(r sin θ)] [∂(Aφ sin θ)/∂θ − ∂Aθ/∂φ] eᵣ + (1/r)[(1/sin θ) ∂Aᵣ/∂φ − ∂(rAφ)/∂r] eθ + (1/r)[∂(rAθ)/∂r − ∂Aᵣ/∂θ] eφ.

Der Laplace-Operator ist

Δ = (1/r²) ∂/∂r(r² ∂/∂r) + (1/(r² sin θ)) ∂/∂θ(sin θ ∂/∂θ) + (1/(r² sin² θ)) ∂²/∂φ².

Äquivalent gilt

Δ = ∂²/∂r² + (2/r)∂/∂r + (1/r²)∂²/∂θ² + [cos θ/(r² sin θ)]∂/∂θ + [1/(r² sin² θ)]∂²/∂φ².

Die meisten dieser Formeln gelten nur außerhalb der z-Achse, wo die Jacobi-Determinante ungleich null ist.

Verallgemeinerung auf n Dimensionen

In n Dimensionen wird ein Punkt durch den Radius r und die Winkel φ₁ bis φₙ₋₁ beschrieben. Die kartesischen Koordinaten entstehen rekursiv:

x₁ = r cos φ₁, x₂ = r sin φ₁ cos φ₂, x₃ = r sin φ₁ sin φ₂ cos φ₃, …, xₙ₋₁ = r sin φ₁ ··· sin φₙ₋₂ cos φₙ₋₁, xₙ = r sin φ₁ ··· sin φₙ₋₂ sin φₙ₋₁.

Für die ersten Winkel gilt 0 ≤ φₖ ≤ π, für den letzten Winkel φₙ₋₁ entweder 0 ≤ φₙ₋₁ < 2π oder, vor einer Verschiebung, −π < φₙ₋₁ ≤ π. Die Winkel können nacheinander bestimmt werden, zum Beispiel durch

cos φ₁ = x₁/√(x₁² + ··· + xₙ²), cos φ₂ = x₂/√(x₂² + ··· + xₙ²), …, cos φₙ₋₂ = xₙ₋₂/√(xₙ₋₂² + xₙ₋₁² + xₙ²), cos φₙ₋₁ = xₙ₋₁/√(xₙ₋₁² + xₙ²), sin φₙ₋₁ = xₙ/√(xₙ₋₁² + xₙ²).

Für φ₁ bis φₙ₋₂ genügt arccos, da dessen Wertebereich [0, π] ist. Für den letzten Winkel werden Kosinus und Sinus gemeinsam benötigt. Alternativ kann man Tangens beziehungsweise arctan2 verwenden; für den letzten Winkel muss ein Ergebnis im Intervall ]−π, π] gegebenenfalls durch Addition von 2π in [0, 2π[ verschoben werden.

Die Jacobi-Determinante lautet für n ≥ 2:

det Jₙ = rⁿ⁻¹ (sin φ₁)ⁿ⁻² (sin φ₂)ⁿ⁻³ ··· (sin φₙ₋₂)¹ = rⁿ⁻¹ ∏ₖ₌₂ⁿ⁻¹ (sin φₙ₋ₖ)ᵏ⁻¹.

Das Integral über ihren Betrag ergibt das Volumen einer n-dimensionalen Hyperkugel mit Radius R:

Vₙ(R) = (√(πⁿ) Rⁿ) / Γ(n/2 + 1),

wobei Γ die Gammafunktion ist. Beispiele sind V₂(R) = πR², V₃(R) = 4πR³/3 und V₄(R) = π²R⁴/2.